【课件】1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第二课时）

第一章1.4.1用空间向量研究直线、平面位置关系空间中直线、平面的平行用空间向量研究距离、夹角问题学习目标

能用向量方法得到两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题.教学重难点

重点:利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角.

难点:根据问题的条件选择适当的基底.用空间向量研究距离、夹角问题直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量．下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题.例题精讲——例七如图，在边长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M,N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.

例题精讲——例七如图，在边长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M,N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.

直线与平面所成的角以上我们用向量方法解决了异面直线AM和CN所成角的问题，你能用向量方法求直线AB与平面BCD所成的角吗?思考

直线与平面所成的角

二面角

图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？问题类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？二面角

问题如何求平面的法向量？求得的n=(x0，y0，z0)是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有法向量(x，y，z)可以用n=(x0，y0，z0).表示，即(x，y，z)=kn=k(x0，y0，z0).

例题精讲——例如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1,求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可．例题精讲——例如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1,求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.

例题精讲——例图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s,精确到0.01N).分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.例题精讲——例图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s,精确到0.01N).

例题精讲——例

分析：本题涉及的间题包括:直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角.这些问题都可以利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素,进而解决问题.例题精讲——例

例题精讲——例

例题精讲——例

课堂检测

AA课堂检测

A课堂检测

C课堂检测3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值.

课堂检测

立体几何坐