【课件】1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题——距离问题空间的距离问题有：线线距、线面距、面面距我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等，如何用空间向量解决这些距离问题呢?

下面我们先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离.

探究已知直线l的单位方向向量为,A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离?AlPQ如图示，向量

在直线l上的投影向量为

，则△APQ是直角三角形，因为A，P都是定点，所以与的夹角∠PAQ都是确定的.于是可求再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.设，则向量在直线l上的投影向量

在Rt△APQ中，由勾股定理，得若直线l的法向量为，则点P到直线l的距离为d1.点到直线的距离：3.向量法.立体几何中点到平面距离的求法：1.直接法；2.等体积法；下面我们探究用空间向量求平面α外一点P到平面α的距离.如图示，已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离d就是AP在直线l上的投影向量的长度.因此αAlQPd思考类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离?2.两平行直线间的距离：两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解.mnA•d3.点到平面的距离：4.直线到平面的距离：直线到平面的距离可转化为点到平面的距离求解.3.两个平行平面之间的距离：αAlQdP•两个平行平面之间的距离也可转化为点到平面的距离求解.αAQdP•β例6如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点.

(1)求点B到直线AC1的距离;

(2)求直线FC到平面AEC1的距离.xyzBAA1B1C1D1CDEF例6如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点.

(2)求直线FC到平面AEC1的距离.xyzBAA1B1C1D1CDEF用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤：(3)利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d．(1)求出该平面α的一个法向量；αAQPd(2)找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量；1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1C的距离等于_____；直线DC到平面AB1的距离等于_______；平面DA1到平面CB1的距离等于_______.xyzA1D1B1DBCC1A1112.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(1)求点A1到直线B1E的距离;

(2)求直线FC1到直线AE的距离;

(3)求点A1到平面AB1E的距离;

(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.BAA1B1C1D1CDEF2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(1)求点A1到直线B1E的距离;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(1)求点A1到直线B1E的距离;BAA1B1C1D1CDEFM2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(2)求直线FC1到直线AE的距离;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(3)求点A1到平面AB1E的距离;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.xyzBAA1B1C1D1CDEF3.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.xyzBAA1B1C1D1CDxyz【巩固训练1】已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E,F分别是AB,AD的中点，求点B到平面GEF的距离.DABCGFE解：如图，建立空间直角坐标系Cxyz．由题设得

B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2)．则设平面EFG的一个法向量为设点B到平面GEF的距离为d，则∴点B到平面GEF的距离为取x=1,则y=1,z=3.【巩固训练2】已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E,F分别是AB,AD的中点，求点BD到平面GEF的距离.xyzDABCGFExyz【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，点M在AC上，点N在BF上，若CM=BN=，求MN的长.解1：建立如图所示的空间直角坐标系.则有【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，点M在AC上，点N在BF上，若CM=BN=，求MN的长.解2：【巩固训练4】如图，两条异面直线a,b所成的角为θ，在直线a,b上分别取点A′,E和点A,F，使AA′⊥a，且AA′⊥b(AA′称为异面直线a,b的公垂线).已知A′E=m,AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长.A′AbaFE1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题——夹角问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角1.线线角(异面直线所成的角)距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量.下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看线线角.一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线l1,l2所成的角为θ，其方向向量分别是

则l1l2l1l2例7如图示，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.ACDBMN1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA=CC1.则BD1与AF1所成角的余弦值是().ACBA1C1B1F1D1xyzA1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点，BC=CA=CC1.则BD1与AF1所成角的余弦值是().ACBA1C1B1F1D1A2.线面角(直线与平面所成的角)类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量

，平面α的法向量为

，则αABC【例题】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,AD=8,AA1=6，M是B1C1上的一点，且B1M=2，点N在线段A1D上,A1N=5,求AD与平面ANM所成角的正弦值.zyxABCA1B1C1D1DNM

3.如图，在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值.(P41练习3)BOCAxyz

2.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是().(P38练习2)PBCADOFE解:过PC上任取一点D并作PO⊥平面APB,则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角.过点O作OE⊥PA,OF⊥PB,∵DO⊥平面APB,则DE⊥PA,DF⊥PB.∴△DEP≌△DFP,∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP.∴点O在∠APB的平分线上,即∠OPE=30°.

2.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是().(P38练习2)解2:如图示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则PCBAxyzO3.面面角(平面与平面的夹角)如图示，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.

类似于两条异面直线所成的角，若平面α,β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则思考右图中有几个二面角?两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系?相等或互补设二面角α-l-β的平面角为θ0，则有例8如图示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.

求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.ACBA1C1B1QPRxyz3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值.(P38练习3)ACBA1C1B1xyzO4.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(1)直线AD与直线BC所成角的大小;DBCAxyzO4.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(2)直线AD与平面BCD所成角的大小;DBCAxyzO4.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.DBCAxyzO例9某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精确到0.01N).如图示，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为.因为=30°，所以在上的投影向量为.

所以8根绳子拉力的合力为又因为降落伞匀速下落，所以∴每根绳子拉力的大小为1.41N.解：例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB;

(2)求证:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.BCDAPEFxyz(1)证明:连接AC,交BD于点G,连接EG.依题意得如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设DC=2.解:G因为底面ABCD是正方形,所以点G是它的中心，故点G的坐标为(1,1,0),且A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1).即PA//EG.而EG平面EDB，且PA平面EDB,因此PA//平面EDB.例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB;

(2)求证:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.BCDAPEFxyz依题意得B(2,2,0).G∴PB⊥DE.由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.(2)证明:例10如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB;

(2)求证:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.BCDAPEFxyz已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角.设F(