【讲座】高中数学概念教学分析与思考

高中数学概念教学的分析与思考几个基本的问题：

1．数学课堂教学教什么?

什么是核心概念的问题？

2．问题诊断：通过问题诊断，针对核心概念、概念、定理课堂教学中出现的疑难问题进行有效的剖析指导。

3．案例分析：明确数学教学目标，使教学措施有的放矢，做到心中有数；能有效的发现、分析和解决教学问题的方法，针对不同问题，采取合适的教学方法、策略和模式。

第一部分：研究的缘起，及研究内容：第二部分：数学核心概念的理论探讨第三部分：高中数学课程核心概念的探讨第四部分：数学核心概念教学探讨借鉴：传统概念教学模式体现数学核心概念特征的教学操作模式（1）操作阶段——概念的引入；（2）过程阶段——概念的抽象概括（3）对象阶段——概念的巩固与深化（4）概型阶段——概念的运用。第五：数学核心概念教学案例通过对其联系性、奠基性、丰富性特征的教学准备分析，并以数学核心概念教学操作模式为基础，展开相关的教学过程分析。一.我们现在面临的现实是什么？课改在前进要解决的问题很多：新课程提倡的理念很难准确把握新教材的改革设计难适应教学方式、学习方式的变革难跟上课程改革与考试评价制度的改革不配套。。。。。二.教学方面的问题课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生的宝贵时间，数学课堂中无效益无质量。学生题目做了千千万，效果甚微。数学教学的质量没有随着课改而改变，而是越来越使得问题严重。三。教师方面的问题分析教师对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和思想方法的体系结构缺乏必要的了解

只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其存在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源但找不出解决问题的有效方法。四.努力的方向---专业化数学学科的专业素养有较好的数学功底能准确理解数学思想懂得数学知识对学生的发展具有根本的重要性具有揭示数学知识所隐含的科学方法和理性思维过程的能力和“技术”。。。。。。教育学科的专业素养一个人的可持续发展：不仅要有扎实的双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。“两个素养”的结合善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；方法多样、有趣味、少而精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发展均衡。五、数学课堂教学——教什么？构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体系，使核心概念、思想方法在数学课堂中得到落实，是提高教学质量和效益的突破口，同时也是教学改革的抓手，因为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养。六、基于概念的核心、思想方法的教学设计框架1.教学设计的基本线索概念及其解析（概念的核心）目标和目标解析教学问题诊断（达成目标已有条件和需要的新条件的分析）教学过程设计目标检测的设计2.概念和概念解析概念：内涵和外延的准确表达概念解析：重点是在揭示内涵的基础上说明概念的核心之所在；对概念在中学数学中的地位的分析，对内容所反映的思想方法的明确。在此基础上确定教学重点。3.目标和目标解析目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准目标：用了解。。。及行为动词经历。。。表述目标：阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事目标解析：解析了解、理解、掌握、经历、体验、探究等的含义。特别注意对概念所反映的数学思想方法的解析教学目标的三层级模型第一层级主成分：以记忆为主要标志，培养的是以记忆为主的基本能力测试：基本事实、方法的记忆水平标准：获得的知识量以及掌握的准确性第二层级主成分：以理解为主要标志，培养的是以理解为主的基本能力测试：能否顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等第三层级主成分：以探究为主要标志，培养的是以评判为主的基本能力测试：能否对解决问题的过程进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣标准：思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等4.教学问题诊断分析教师根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点4.教学支持条件分析为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行实现思维，使他们更好地发现数学规律。5.教学过程设计强调教学过程的内在逻辑线索给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析以“问题串”方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等6.目标检测设计习题、练习方式的检测。要明确每一个（组）习题或练习的设计目的，加强检测的针对性、有效性注意防止一步到位，过早给综合题、难题有害无益；基础不够的题目更是贻害无穷——题目出不好是老师专业素养低的表现之一“函数主线”为例1.对函数的认识（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型（2）函数是连接两类对象（两个集合）的桥梁（3）函数是图形数形结合主要载体：

解析几何、向量图形、函数函数概念的“注意事项”集合A、B都是数集任意性唯一性可以一对一、多对一，但不能一对多y=f(x)是一个整体，不是f与x的乘积值域C={f(x)|x属于A}是集合B的子集函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定在不适当的时候，用不适当的方法强调细节，把学生“教糊涂了”。如何让学生体会“定义域”的重要性：抽象强调“定义域”很重要，“解析式相同，定义域不同就是不同的函数”没有作用。有实际意义的具体例子最有效。例如，商品购买、路程与时间，等等。先让学生写出解析式，再大家分析函数主线1.具体函数模型：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数2.函数与方程、函数与数列、函数与不等式、函数与线性规划、函数与算法、导数3.数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析数学主线简要把书读厚，又能把书读薄———华罗庚读厚：就是要把每一个逻辑关系、每一个细节搞清楚，想清楚读薄：就是要抓住课程的主线、基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识必修一：函数的有关问题1.定义域、值域问题在定义域、值域问题上，教材只对最基本的函数提出要求，教学中也不要做拓展，应当把主要精力放在使学生理解函数的基本概念和思想上，以使学生有更多的时间考虑如何建立函数模型以反映实际问题中变量之间的依赖关系2.关于反函数问题只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，通过比较同底的指数函数和对数函数说明即可。不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数3.重视二次函数的有关问题直接考查：（江苏省2014年第10高考题）已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x属于[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是

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六、怎样才算“教完了”？

1.舍不得在概念、原理的发生发展过程上化时间————“这样能教完吗？”

2.给学生吃“压缩饼干”

3.基础知识——“题型教学”，解题技巧大杂烩，“一步到位”问题在哪里？不“准”————或者是没有围绕概念的核心，或者是教错了不“简”————在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了不“精”————让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力但达不到对知识的深入理解“教完了”应该以学生是否理解为准，以学生是否达成教学目标为准，特别是学生达到的数学基础的理解和熟练水平位标准，而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”广种薄收是懒汉的做法七、重结果轻过程的危害数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是技能到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土囊没有过程==没有思想没有思想就难以理解概念的实质缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辩别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激-反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现例如：三角函数认知分析（1）三角函数是一类特殊函数，“三角函数”是“函数”的下位概念，用“概念同化”方式学习，要理解“三要素”的具体内涵，其中核心是“对应法则”（2）从角三角函数到任意角三角函数，一种“形式推广“，载体要从直角三角形过渡到直角坐标系，其核心是要明确用坐标定义三角函数的思想方法；（3）体会将”任意点“化归到”单位圆上的点“的意义————求简的思想教学难点（1）先要在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应，再实现数到坐标的对应，不是直接的对应，会造成理解困难；（2）角三角函数的”比值“过渡到坐标表示的比值，需要从函数角度重新认识问题（3）求简到”单位圆上的坐标“，思想方法深刻，学生不容易理解三角函数定义的教学过程复习：请回答下列问题前面学习了任意角，你能说说任意角概念与平面几何中的角的概念有什么不同吗？引进象限角概念有什么好处？在度量角的大小时，弧度制与角度制有什么区别？我们是怎样简化弧度制的度量单位的？设计意图：从为学习三角函数概念服务的角度复习，关注的是思想方法先行组织者：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型例如：指数函数描述了”指数爆炸“，对数函数描述了”对数增长“等。圆周运动是一种重要的运动，其中最基本的是一个质点绕点O做匀速圆周运动，其变化规律该用什么函数模型描述呢？”任意角的三角函数“就是一个刻画这种”周而复始“的变化规律的函数模型设计意图：解决”学习的必要性“问题，明确要研究的问题问题1：对于三角函数我们并不陌生，初中学过角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个角α，你能借助三角板，根据角三角函数的定义找出sinα的值吗？设计意图：从函数角度重新认识角三角函数定义，突出”与点的位置无关“。问题2：你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示角三角函数吗？设计意图：比值”坐标化“问题3：上述表达式比较复杂，你能将它化简吗？设计意图：为”单位圆法”作铺垫。学生答出“取点P(x,y)使”后追问“为什么可以这样做？”教师讲授：类比上述做法，设任意角α的终边与单位圆交点为P(x,y),定义正弦函数为y=sinα，余弦函数为y=cosα设计意图：“定义”是一种“规定”；把精力放在定义合理性的理解上问题4你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的正弦函数的对应法则、定义域、值域例1分别求自变量所对应的正弦函数值和余弦函数值设计意图：让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤例2角x的终边过P(求它的三角函数值。三角函数概念的“精致”函数值的符号问题终边与坐标轴重合时的三角函数值终边相同的角的同名三角函数值与锐角三角函数的比较：因袭与扩张从“形”的角度看三角函数---三角函数线，联系的观点终边上任意一点的坐标表示的三角函数结束语数学理解的核心是对基本概念及其所反映的数学思想方法的理解围绕数学核心概念、思想方法进行教学在挖掘知识所蕴含的价值资源上狠下功夫四、多少的比较方法之一：数数66多少的比较方法之二：比较少多映射自然数的比较122436n2n自然数与偶数一样多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)推广推广●●●●●这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于负无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论x是趋于,还是趋于，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！圆周比直线多一点！新概念集合A与B称为基数相等，如果A，B之间存在1-1对应关系（1-1映射）。记为显然基数概念推广了个数概念。几个有趣的结论1、有理数与自然数一样多这个集合的基数不超过自然数的基数，而自然数是其子集，所以这两个集合的基数相等。同样的理由知道有理数与自然数一样多。几个有趣的结论2、（0，1）与（0，+∞）的点一样多几个有趣的结论3、（0，1）的点比自然数多；5、自然数是基数最小的无穷集合。4、自然数的所有子集所成的集合与（0，1）的基数一样；6、一个集合的基数（ﭏ）小于其子集所成的集合的基数（2ﭏ

）Thatis:ﭏ<2ﭏ

几个有趣的结论一、函数概念的发展线索表1五国教材中函数概念的发展主线

由表1可见，函数概念在五国教材中的发展主线基本相同：定义→性质→基本初等函数，但存在如下显著差异：（1）性质和基本初等函数的编排顺序不同；（2）以函数为核心的网络节点上的概念选择差异较大，特别是图象变换和函数种类。如法国教材，有理函数、多项式函数都有涉及，并且介绍了多项式函数的形式化定义，而中国教材只涉及五个最基本的具体幂函数。

我认为，因为各国的国情、数学教育理念、教育的传统乃至教材编者对数学知识的认识和定位都是不同的，所以出现差异很自然。这些“不同”所造成的差异不仅体现在核心概念网络体系的构建上，也体现在对核心概念本身的关注点、为学生构建的学习方式等方面。二、对函数概念的关注点核心概念位居数学知识体系的中心，其强大的生长力可以产生“柱根相连，柱枝相托，枝叶扩展”的“概念群”。函数概念更具代表性，与之相关的概念众多，例如：常量、变量、运动、变化、集合、对应、关系、映射、模型，以及应用、联系……对这些相关概念的重视程度，各国教材既有共性也有差异。

1.共同关注点：函数概念的联系性

早在100多年前，F·克莱因就提出中学要“以函数观念和几何直观作为数学教学的核心”的观点。“函数观念”（可以进一步具体化为“函数概念及其反映的数学思想方法”）作为整个高中数学的核心，可以在整套教材的组织中发挥联系纽带的作用。从函数内容的具体组织看，各国教材都不集中安排函数内容，而是与其他领域的知识相互穿插。其中最突出的是美国教材，每一章都以穿插学习的方式，把与当前学习的具体函数有直接联系的各种知识都穿插在一起。例如“线性函数与数列”一章，以“线性关系”为纽带，将代数、几何和统计领域中的直线方程、等差数列、回归直线和阶梯函数等相关概念融会贯通，而联系它们的核心概念就是线性函数（如表2）

表2“线性函数与数列”的知识体系为使“联系”更加自然，美国教材以“问题解决”为指导思想，围绕着解决实际问题的需要，通过建立不同类型的函数模型，引出相关概念，让学生“了解直线、几何和统计之间联系”。例如，通过建立常数增长（或下降）情境的函数模型，导出直线方程的斜截式及其图象；通过建立描述两组相关联数据关系的函数模型，导出回归直线的定义等。

从教材呈现来看，与函数概念的联系表现出“多向性”。例如，我国教材专设一节“函数与方程”；日本教材在介绍了具体函数（如三角函数、有理函数等）概念和性质后，通过函数图象研究相应的方程和不等式；法国教材将算法和函数密切结合，如函数定义一节中的“能力12用一种算法定义一个函数”，其中的问题1和问题2（见表3）要求学生从算法到函数、从函数到算法进行转换，意在促进学生建立算法和函数间的联系，从而既能从不同角度理解这两个数学对象，又能在一定的情境中恰当地选择数学对象解决问题。表3能力12用一种算法定义一个函数2.不同的关注点：函数概念定位的差异由于对函数概念内涵的关注程度不同，各国教材在素材、知识点的选择、呈现方式等方面出现差异。对函数概念内涵不同的关注点，本质上反映了各国对函数学习的不同定位，而不同的定位又是不同数学教育观念的具体反映。

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美国教材的关注点：模型美国教材将函数定位为“描述两个变量关系的数学模型”。因此，函数概念的模型特性成为关注重点，主要表现在：

（1）给出函数定义后，教材对数学模型的涵义进行了解释——现实情境的数学模型就是用数学的语言和概念描述它，并举例说明通常必须简化现实情境以构建数学模型；

（2）随后一章（VariationandGraphs），教材举例说明建立函数模型的两种方法，一是利用数学原理（如各种算法、度量公式、统计量等），二是通过拟合数据；（3）介绍某种具体函数时，都包含了建立函数模型刻画实际情境的内容；

（4）Functions，StatisticsandTrigonometry专门设置了一章“函数与模型”，总结AdvanceAlgebra中介绍的函数模型。从问题情境看，美国教材选择了大量现实素材，而且类型具有多样性；从对情境的描述看，美国教材注重问题的真实性、可信性和趣味性。如表4是美国教材和中国教材中都有的

细胞分裂情境，显然美国教材给出了更具体丰富的细节，不仅出现了一种常见细菌细胞的名称、分裂时间，而且还配了图片。

表4教材中的细胞分裂情境o

德教材的关注点：图象和现实导向

函数图象是函数概念的表示方式之一，同时它也是研究函数性质、解决相关问题的有力工具。五国教材都关注函数图象，但德教材对函数图象的研究最具系统性：

（1）在具体函数（三角、指对函数）中，充分利用图象研究函数性质；

（2）专门设置一章（如表5）对图象和性质进行研究，使得每类具体函数的图象、定义域、值域、零点、对称性、无穷远处函数值等都有比较系统的呈现。

表5德国教材“函数的图象和性质”一节的内容三、核心概念的学习方式

各国教材在核心概念学习方式上采用了比较一致的做法，即强调学生的自主学习。主要有：自主探索、课题学习和加强与信息技术的整合。

1.自主探索

五国教材的具体做法为：问题和活动。

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中国教材以问题引导学生学习核心概念

我国教材以“观察”“思考”“探究”等栏目将问题穿插在正文叙述中，主要作用是在知识形成的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上引导学生的思考和探索活动。例如教材介绍了函数的几个典型实例后，为了促进学生思考它们的共同本质特征而概括出函数定义，用“思考：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？”加以引导。o

美、德、法教材均通过“活动”引导学生学习核心概念

通过“活动”学习数学概念是这些国家教材的一个共同特色，但呈现方式又各不相同，其中法国教材最具特色：

（1）相对于美、德教材将活动与知识讲解相整合的做法，法国教材每一章都划分为三部分：介绍活动，课程知识，练习问题，将活动与知识讲解分离。“介绍活动”包括一些小的探究、实践或认知活动，重点是对知识在各种背景下的表征方式的认识和问题解决上