二次函数的图象和性质 课时5 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 同步演练 初中数学人教版九年级上册（2022-2023学年）

课时5课时5二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质基础巩固基础巩固【知识点1二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质】1.二次函数y=(x+2)2−1的图象大致是() 【答案】D【解析】由y=(x+2)2−1，知图象开口向上，顶点坐标为(−2，−1)，结合选项，知选D.2.已知函数y=2(2x−4)2+1，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是()A.x>4 B.x<4 C.x>2 D.x<2【答案】C【解析】∵y=2(2x−4)2+1=8(x−2)2+1，∴该二次函数图象开口向上，对称轴是直线x=2，∴当x>2时，y随x的增大而增大.故选C.3.抛物线y=(x+2)2+m2+1(m为常数)的顶点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】∵y=(x+2)2+m2+1，∴顶点坐标为(−2，m2+1)，∵−2<0，m2+1>0，∴顶点在第二象限.故选B.4.关于二次函数y=2(x+1)2−3，下列说法不正确的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0，−1)B.图象的对称轴在y轴左侧C.当x<0时，y随x的增大而减小D.函数的最小值为−3【答案】C【解析】当x=0时，y=−1，∴图象与y轴的交点坐标为(0，−1)，故A不符合题意.由y=2(x+1)2−3，知图象开口向上，对称轴为直线x=−1，顶点坐标为(−1，−3)，∴图象的对称轴在y轴左侧，当x<−1时，y随x的增大而减小，函数的最小值为−3，故B，D不符合题意，C符合题意.故选C.5.设A(−3，y1)，B(−2，y2)，C(12，y3)是抛物线y=(x+1)2−m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为.(用“>”连接【答案】y1>y3>y2【解析】抛物线y=(x+1)2−m开口向上，对称轴为直线x=−1.∵A(−3，y1)，B(−2，y2)，C(12，y3)是抛物线y=(x+1)2−m上的三点，|−1−(−3)|>|−1−12|>|−1−(−2)|，∴y1>y3>y6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2).若抛物线y=−32(x−h)2+k(h，k为常数)与线段AB交于C，D两点，且CD=12AB，则k的值为【答案】72【解析】∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2)，∴AB=4.∵CD=12AB，∴CD=2.由抛物线的对称性，可得点C的坐标为(h−1，2)，把点C的坐标代入y=−32(x−h)2+k，得2=−32(h−1−h)2+k，解得k7.已知抛物线y=a(x−3)2+2经过点(1，−2).(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小.【答案】(1)a=−1；(2)y1<y2【解析】(1)∵抛物线y=a(x−3)2+2经过点(1，−2)，∴−2=a(1−3)2+2，解得a=−1；(2)∵函数y=−(x−3)2+2的对称轴为直线x=3，∴A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)在对称轴左侧，∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴y1<y2.8.如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为M(1，−4).(1)求二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=54S△MAB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)A，B两点的坐标分别为(−1，0)，(3，0)；(2)存在，理由见解析.【解析】(1)∵M(1，−4)是二次函数y=(x+m)2+k图象的顶点，∴y=(x−1)2−4=x2−2x−3.令x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3；∴A，B两点的坐标分别为(−1，0)，(3，0).(2)在二次函数的图象上存在点P，使S△PAB=54S△MAB.理由如下设P(x，y)，由(1)知AB=4，则S△PAB=12AB×|y|=2|y|又S△MAB=12AB×|−4|=8∴2|y|=54×8，∴y∵二次函数的最小值为−4，∴y=5.当y=5时，x=−2或4.故点P的坐标为(−2，5)或(4，5).【知识点2二次函数y=a(x−h)2+k与y=ax2的图象间的关系】9.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线的解析式为()A.y=(x+3)2+5 B.y=(x−3)2+5C.y=(x+5)2+3 D.y=(x−5)2+3【答案】D10.将二次函数y=−2(x−1)2−2的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得到的二次函数图象的顶点坐标为()A.(0，0) B.(1，−2) C.(0，−1) D.(−2，1)【答案】C【解析】解法一：将二次函数y=−2(x−1)2−2的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为y=−2(x−1+1)2−2+1，即y=−2x2−1，所以其顶点坐标为(0，−1).故选C.解法二：二次函数y=−2(x−1)2−2的图象的顶点坐标为(1，−2)，将其先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得(0，−1).故选C.11.已知抛物线y=(x+2)2−1向左平移h个单位长度，向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=(x+3)2−4，则h和k的值分别为()A.1，3 B.3，−4 C.1，−3 D.3，−3【答案】A【解析】解法一：因为抛物线y=(x+2)2−1的顶点坐标是(−2，−1)，所以向左平移h个单位长度，向下平移k个单位长度后的坐标为(−2−h，−1−k)，所以平移后抛物线的解析式为y=(x+2+h)2−1−k.因为平移后抛物线的解析式为y=(x+3)2−4，所以2+h=3，−k−1=−4，所以h=1，k=3.故选A.解法二：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线为y=(x+2+h)2−1−k=(x+3)2−4，所以2+h=3，−1−k=−4，所以h=1，k=3.故选A.能力提升能力提升1.二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象经过()A.第一、第二、第三象限 B.第一、第二、第四象限C.第二、第三、第四象限 D.第一、第三、第四象限【答案】C【解析】由题中图象，得顶点(−m，n)在第四象限，所以−m>0，n<0，所以m<0，n<0，所以一次函数y=mx+n的图象经过第二、第三、第四象限.故选C.2.作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的抛物线C的解析式是y=2(x+1)2−1，则抛物线A的解析式是()A.y=−2(x+3)2−2 B.y=−2(x+3)2+2C.y=−2(x−1)2−2 D.y=−2(x−1)2+2【答案】D【解析】抛物线C的顶点坐标为(−1，−1).∵将抛物线B向左平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得到抛物线C，∴抛物线B的顶点坐标为(1，−2)，∴抛物线B的解析式为y=2(x−1)2−2.∵抛物线A与抛物线B关于x轴对称，∴抛物线A的解析式为y=−2(x−1)2+2.故选D.3.已知二次函数y=−(x−2)2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2.若|x1−2|>|x2−2|，则y1，y2的大小关系是()A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1=y2 D.无法确定【答案】A【解析】二次函数y=−(x−2)2+c的图象开口向下，对称轴为直线x=2，∵|x1−2|>|x2−2|，∴点(x1，y1)到对称轴的距离比点(x2，y2)到对称轴的距离大，∴y1<y2.故选A.4.已知二次函数y=(x−h)2+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为()A.1或−5 B.−1或5 C.1或−3 D.1或3【答案】B【解析】根据题意，知h不在1≤x≤3的范围内，当x>h时，y随x的增大而增大，当x<h时，y随x的增大而减小.①若h<1，则当x=1时，y取得最小值5，即(1−h)2+1=5，解得h=−1或h=3(舍去)；②若h>3，则当x=3时，y取得最小值5，即(3−h)2+1=5，解得h=5或h=1(舍去).综上，h的值为−1或5.故选B.5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23(x−3)2+k经过坐标原点O，与x轴的另一个交点为A，过抛物线的顶点B分别作BC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，则图中阴影部分的面积和为【答案】18【解析】把(0，0)代入y=−23(x−3)2+k，得0=−23(0−3)2+k，解得k=6，所以抛物线的解析式为y=−23(x−3)2+6，所以点B的坐标为(3，6).根据抛物线的对称性及BC⊥x轴，BD⊥y轴，得图中阴影部分的面积和为S6.已知二次函数y=−(x+a)2+2a−1(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.如图是当a取四个不同数值时此二次函数的图象，发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的解析式是.【答案】y=−2x−1【解析】抛物线y=−(x+a)2+2a−1的顶点坐标为(−a，2a−1)，设x=−a①，y=2a−1②，①×2+②，得2x+y=−1，即y=−2x−1，故这条直线的解析式为y=−2x−1.7.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点P是抛物线对称轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当PC+PB的值最小时，求点P的坐标.【答案】(1)y=−(x−1)2+4；(2)P(1，2)【解析】(1)∵抛物线的顶点为A(1，4)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+4.∵B(0，3)在抛物线上，∴3=a(0−1)2+4，解得a=−1.∴此抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4.(2)在y=−(x−1)2+4中，令y=0，得x1=3，x2=−1，∴D(3，0)，C(−1，0).由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称轴x=1对称.连接BD交直线x=1于点P，此时PC+PB的值最小.设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)，∴b=3，3k+b=0，当x=1时，y=2，∴P(1，2).8.如图，顶点为M的抛物线y=a(x+1)2−4分别与x轴相交于点A，B(点A在点B的右侧)，与y轴相交于点C(0，−3).(1)求抛物线的解析式；(2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由；(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合)，使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)y=(x+1)2−4；(2)是，理由见解析；(3)存在，有3个满足条件的点N，它们分别为N1(−2，−3)，N2(-2+222，32)【解析】(1)∵抛物线y=a(x+1)2−4与y轴相交于点C(0，−3)，∴−3=a(0+1)2−4，∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)2−4；(2)△BCM为直角三角形.理由如下：解法一：将y=0代入y=(x+1)2−4，解得x1=−3，x2=1.∴A(1，0)，B(−3，0).∴OC=OB，∴∠OCB=45°.如图1，过点M作MH⊥y轴于点H，∵顶点M的坐标为(−1，−4)，∴MH=CH=1，∴∠MCH=45°，∴∠BCM=180°−∠OCB−∠MCH=90°，∴△BCM为直角三角形.解法二：将y=0代入y=(x+1)2−4，解得x1=−3，x2=1.∴A(1，0)，B(−3，0).∵顶点M的坐标为(−1，−4)，∴由勾股定理得BC2=32+32=18，CM2=[(−3)−(−4)]2+12=2，BM2=[(−1)−(−3)]2+42=20，∴BC2+CM2=BM2，∴△BCM为直角三角形.(3)存在.由(2)知，BC2=18，CM2=2，∴BC=32，CM=2，∴S△BCM=12×BC×CM设点N的坐标为(t，t2+2t−3).①当点N位于x轴下方时，点N只能位于直线BC下方.如图2，过点N作ND∥y轴交BC于点D，则D(t，−t−3).∴DN=(−t−