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专题10计数原理【要点提炼】分类加法计数原理做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,,在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N=m、+m2 mn种不同的方法.12 M分步乘法计数原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一个步骤有m1种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同的方法,……,做第n个步骤有mn种不同的方法•那么完成这件事共有N=m、Xm2X…Xmn种不同的方法.12 n分类加法和分步乘法计数原理,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.4.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同兀素中取出m(mWn)个不同兀素按照一定的顺序排成一列组合合成一组排列数与组合数⑴从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.⑵从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.排列数、组合数的公式及性质公式, … … , ,八 n!Am—n(n—l)(n—2)…(n—m+1)—( )!.Amn(n—1)(n—2)・・・(n—m+1)Cm一A一 [v7n Am m!mn!——-— /一 …/一WT 口…—一、At匕 Cc 1-m!(n-m)!(n,meN+,且m<n).特别地C0j性质0!=1;An=n!.Cm=C"-m;Cm=Cm+Cm-1\'n n n+1 —n n考向一计数原理考向一分类加法计数原理的应用【典例1】(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有 种不同的方法.⑵满足a,be{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 .解析(1)分三类:一类是乘汽车有8种方法;一类是乘火车有2种方法;一类是乘飞机有2种方法,由分类加法计数原理知,共有8+2+2=12(种)方法.当a=0时,b的值可以是一1,0,1,2,故(a,b)的个数为4;当aHO时,要使方程ax2+2x+b=0有实数解,需使A=4-4ab^0,即abW1.若a=-1,则b的值可以是一1,0,1,2,(a,b)的个数为4;若a=1,则b的值可以是一1,0,1,(a,b)的个数为3;若a=2,则b的值可以是一1,0,(a,b)的个数为2.由分类加法计数原理可知,(a,b)的个数为4+4+3+2=13.答案(1)12(2)13规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.根据题目特点恰当选择一个分类标准.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法,不能重复.分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏,如本典例(2)中易漏a=0这一类.考向二分步乘法计数原理的应用【典例2】(1)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为 .五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为 .五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有 种.解析(1)可分三步给百、十、个位放数字,第一步:百位数字有5种放法;第二步:十位数字有5种放法;第三步:个位数字有4种放法,根据分步乘法计数原理,三位数的个数为5X5X4=100.五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实,每个冠军有5种获得的可能性,共有54种获得冠军的可能性.答案(1)100(2)4554规律方法1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.考向三两个计数原理的综合应用【典例3】(1)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个(用数字作答).(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A.48 B.18 C.24 D.36解析⑴当不含偶数时,有A4=120(个),当含有一个偶数时,有C4C?A4=960(个),所以这样的四位数共有1080个.(2)在正方体中,每一个表面有四条棱与之垂直,六个表面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.答案(1)1080(2)D规律方法1.在综合应用两个原理解决问题时应注意:(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.[方法技巧]应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.(1)分类要做到“不重不漏” ,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”,完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.混合问题一般是先分类再分步.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.考向二排列组合考向一排列问题【典例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.选5人排成一排;排成前后两排,前排3人,后排4人;全体排成一排,女生必须站在一起;全体排成一排,男生互不相邻;(一题多解)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;⑹(一题多解)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边.解⑴从7人中选5人排列,有A7=7X6X5X4X3=2520(种).(2)分两步完成,先选3人站前排,有A3种方法,余下4人站后排,有A/种方法,共有A3^A4=5040(种).⑶(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A?种方法,再将女生全排列,有A4种方法,共有AfA4=576(种).(4)(插空法)先排女生,有A?种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有A5种方法,共有A4・A5=1440(种).⑸法一(特殊元素优先法)先排甲,有5种方法,其余6人有Ag种排列方法,共有5XAg=3600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人,有Ag种排法,其他有A5种排法,共有A2A5=3600(种).(6)法一(特殊兀素优先法)甲在最右边时,其他的可全排,有Ag种方法;甲不在最右边时,可从余下的5个位置任选一个,有A5种,而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有鸟种,其余人全排列,只有A5种不同排法,共有A6+AgA5A5=3720.法二(间接法)7名学生全排列,只有A7种方法,其中甲在最左边时,有Ag种方法,乙在最右边时,有Ag种方法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形,有A5种方法,故共有A7-2A6+A5=3720(种).规律方法排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.考向二组合问题【典例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1) 其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2) 其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3) 恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?(4) 至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?(5) 至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?解(1)从余下的34种商品中,选取2种有C24=561(种),・•・某一种假货必须在内的不同取法有561种.⑵从34种可选商品中,选取3种,有C34种或者C35—C2厂C?4=5984(种).・•・某一种假货不能在内的不同取法有5984种.⑶从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有C20C25=2100(种).・恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.⑷选取2种假货有C20Ci5种,选取3种假货有C15种,共有选取方式C20C25+C35=2100+455=2555(种).・至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.选取3种的总数为C35,选取3种假货有C35种,因此共有选取方式C335—C135=6545—455=6090(种).・至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.考向三分组、分配问题【典例3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教,现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有 种不同的分派方法.某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有( )A.80种 B.90种 C.120种 D.150种A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌上开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有( )A.24种 B.30种 C.48种 D.60种C2C2C2解析(1)先把6个毕业生平均分成3组,有违严种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A?=6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有=90种分派方法.C2C2C1种,(2)分两类:一类,第一步将5名老师按2,2,1分成3组,其分法有二种,C2C2C1第二步将分好的3组分派到3个学校,则有5a21^A3=90种分派方法;C3C1C1另一类,第一步将5名老师按3,1,1分成3组,其分法有三A严种,第二步将C3C1C1分好的3组分派到3个学校,则有5a21Aj=60种分派方法.所以不同的分派方法的种数为90+60=150(种).B,C二人必须坐相邻的两把椅子,有4种情况,B,C可以交换位置,有Aj=2种情况;其余三人坐剩余的三把椅子,有A3=6种情况,故共有4X2X6=48种情况.答案(1)90 (2)D (3)C规律方法1.对于整体均分问题,往往是先分组再排列,在解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以An(n 为均分的组数),避免重复计数.对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!.对于不等分问题,首先要对分配数量的可能情形进行一一列举,然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中,又要考虑是分步计数还是分类计数,是排列问题还是组合问题.[方法技巧]对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不合要求的排列数或组合数.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题先选后

排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题倍除法处理;(7)分排问题直排处理;⑻“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价条件.【专题拓展练习】一、单选题( 1An1.已知( 1An1.已知x2十一V x丿的展开式中有常数项,则n的值可能是(A.5【答案】B【详解】B.6C.7D.8由题意展开式通项公式为T=Cr(x2)n-rr+1 n所以关于r的方程2n-3r=0有正整数解,n必是3的整数倍.只有B满足.故选:B.2•受新冠肺炎疫情影响,某学校按上级文件指示,要求错峰放学,错峰有序吃饭高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭,甲班不能排在第一位,且丙班、丁班必须排在一起,则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有()A.120种 B.156种 C.192种 D.240种【答案】C【详解】丙丁捆绑在一起看作一个班,变成5个班进行排列,然后在后面4个位置中选1个排甲,这样可得排法为A2A1A4二1922 4 4故选:C.(2\63•在x+—-1的展开式中,除常数项外,其余各项系数的和为( )Vx丿A.63【答案】BA.63【答案】B【详解】B.-517C.-217D.-177•(-1)2+C1x-•(-1)2+C1x-C165令x=1求各项系数和,(1+2—1)6=64则除常数项外,其余各项系数的和为64—581=—517.故选:B4.A、B、C、D、E五个人并排站在一起,则下列说法不正确的有( )若A、B不相邻共有72种方法若A不站在最左边,B不站最右边,有78种方法.若A在B左边有60种排法若A、B两人站在一起有24种方法【答案】D【详解】A.若A、B不相邻共有A3-仔=72种方法,故A正确;B•若A不站在最左边,B不站最右边,利用间接法有A;-2A:+A广78种方法,故B正确;C.若AC.若A在B左边有石=60种方法,故2C正确;5.A.540B5.A.540B.-162C.162D.-540D.若A、B两人站在一起有A4A2=48,故D不正确.42故选:D的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为(答案】D详解】的展开式中各项系数之和为2n=64解得n=6所以的展开式中各项系数之和为2n=64解得n=6所以6r+1=(-3)rCrx3-r6当r=3时,T=(-3)3C3=-27x20=-540为常数46故选:D6.现有甲、乙、丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲同学安排在另外两位前面,则不同的安排总数为()A.10 B.20 C.40 D.60【答案】B【详解】第一类:甲在周一,共有A2种方法,4第二类:甲在周二,共有A2种方法,3第一类:甲在周三,共有A2种方法,2N=A2+A2+A2=20种不同的方法.432故选:B7.现有语文、数学、英语、物理各1本书,把这4本书分别放入3个不同的抽屉里,要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里,则放法数为()A.18 B.24 C.30 D.36【答案】C【详解】4本书放入三个不同的抽屉,先在4本书中任取2本作为一组,再将其与其他2本书对应三个抽屉,共有C2•A3=6x6=36种情况,43若语文与数学放入同一个抽屉,则其他两本放入其余抽屉,有A3=6种情况,3则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为:36-6=30种;8.2020年既是全面建成小康社会之年,又是脱贫攻坚收官之年,某地为巩固脱贫攻坚成果,选派了5名工作人员到人、B、C三个村调研脱贫后的产业规划,每个村至少去1人,不同的选派方法数有()种A.25 B.60 C.90 D.150【答案】D【详解】

解:法一(分组分配):把5各工作人员分成3组,有两类分法:①:②:5=1+1+3贝y有CCC3=①:②:A22C2C2C15=2+2+1贝ij有531—15种A22所以共有10+15-25种分组方法’根据题意’所求方法数有25A3-150个法二(排除法):•••5个工作人员仅去一个村子的方法数有15C1—3个35个工作人员仅去两个村子的方法数有G5-2)C2—90个•••5个工作人员去三个村子的方法数有35-90-3—150个.故选:D.9.在G-9.在G-x2)的展开式中,含x2的项的系数是(A.-10 B.10 C.25D.-25【答案】【答案】B详解】6展开式的通项为6展开式的通项为Tk+1—Ckx6-kx-k—Ckx6-2k66所以含x2的项为2XC2x6所以含x2的项为2XC2x6-2x2+(—x2)C3x6-2x3—30x2—20x266—10x2所以含x2的项的系数是10故选:B.10.已知(x2+1)(2x—1)7—a+a(x—1)+a(x—1)2+••01•+a(x—1)9(xgR).贝ya】A.-30B.30C.-40D.40答案】B详解】令t—x—1,则有:[(t+1)2+1][2(t+1)—1]7—a+at+at2+•••+a0 1 2 9

即(t2+2t+2)(21+1)7=a+at+at2+•••+at9(xgR)0 1 2 9(2t+1)7展开式的通项公式为:C;(21)7-r所以(t2+2t+2)(21+1)7=a+at+at2+ 卜at9(xgR)中含t的项为:0 1 2 92tC7+2C6(21)二30t.7711.今年年初,新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心,八方驰援战疫情,众志成城克难时,社会各界支援湖北,共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士,2名医生支援

湖北,将他们随机分成甲乙两个医院,每个医院10人,其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为()2C1C92C1C9C1C9C1C9A. —^9B. —^8C. 218D. 219C10C10C10C1020202020【答案】C【详解】从18护士2名医生中任取10人有C20种,2名医生恰好被分在不同医院有C1C9种,218C1C9所以2名医生恰好被分在不同医院的概率为六8C1020故选:C.12.的展开式中的常数项为(A12.的展开式中的常数项为(A.32 B.34 C.36D.38【答案】D详解】( 2( 2YX3一一I X丿的展开式的通项公式为T=CrC人r+1 4=(-2)rC (T=CrC人r+1 44令12一4r=0,解得r=3所以展开式的常数项为(—2》C3=-324的展开式的通项公式为Tk的展开式的通项公式为Tk+1Ckx8—k8=CkX8-2k(k=0,1,...8)8令8-2k=0,解得k=4所以展开式的常数项为C4=708所以X所以X3的展开式中的常数项为-32+70=38故选:D二、解答题13•在二项式p/X--Y彳的展开式中,k x丿求展开式中含X3项的系数:如果第3k项和第k+2项的

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