第一章 中线模型的构造

60060600600中线模型构造当已知条件中出现一个中点时先想到的作辅助线解题方法是什么？如果已知两个中点呢？名师讲堂知识点睛1、线段的中点如图1-1a将段AB分相等的两条线段AM与BM。点M叫线段AB的点。类似地，还有线段的三等分点，四等分点，如1-1（c）2、等腰三角形（）义：如图1-2，△中，如果，eq\o\ac(△,则)是腰角形。（）质：等三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”等三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（“简写成三线合一”判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”3、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。性质：等边三角形三个角都相等并且每一个角都等于，“三线合一”。（）定：三角都相的三角形是等边三角形；有个角是的等腰三角形是等边三角形；三相等的三角形是等边三角形。、直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。性质：直角三角形中两锐角互余；直三角形斜边中线等于斜边一半；直三角形中，如果一个锐角等于，么它所对的直角边等于斜边的一半；④直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理。即如果直角三角形中两直角边是a、

，斜边为c

，则

。（）定：有个角是角的三角形是直角三角形；如三角形的三边长ac直接三角形。、全等三角形

满足

，那么这个三角形就是定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。判定：三边对应相等的两个三角形全等SSS两和它们的夹角对应相等的两个三角形全SAS两和它们的夹边对应相等的两个三角形全ASA两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL☆小提示S-Side（边A-Angle角（边（角边）、三角形的中位线（）义：我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如1-3在ABC中D分是、AC中，则

叫做ABC的位线。（）理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。如图1-3，在

中，DE

是

ABC

的中位线，则

DE∥

且

DE

。技巧提炼很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件看到“中点”我们应该想到什么呢？“中点”有哪些作用呢？已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：倍长中线或类中线（与中点有关线段）构造全等三角形。如图1-4（1-4（）示三角形中位线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。例题精讲例1

如图1-5a

ABC

中，

,

AC20

求

边上中点

的范围。解析：如图1-5（长AD

到点

，使得DE

,连接

AD,ADBEDCECDBA在ACE中，＜＜,20＜AE20＜AE1ADAE,24＜16.综上所述AD例2如图（在ABC中边上的中线，E并延长，交AC于，AFEF，证AC.解析

是AD

上一点连接BE证法一：如图1-6b长AD

到点

G

，使

DGAD

，连接

.DB,BDGCDA,ADGDADC.AC.又AF,EAFAEF.BED,G,AC.解法二：如图1-6(c)，延长

到点

G

，使得

DG

,连接

CG

.D是B点，CD.CDGGBED,.AFEF,BEGG即EAF..变式如图1-7，已知在

ABC

中，

是

边上的中线E

是AD

上一点，且

,延长

,交AC于F

，

与EF

相等吗？为什么？变式如图1-8在

中，

交

于点

，点

是

中点，

交

的延长线于点F

，交AB

于点G若

为ABC角平分线，求证：

BGCF例3

如图1-9（

Rt

中，

,点D为

的中点，点

、F

分别为、

上的点且EDFD

以段

、、FC

为边能否构成一个三角形？若能三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？解析：以线段

、、FC

为边能构成一个直角三角形证明：如图1-9（长FD到使GDFD，接

EG、BDBDGFD≌(CF,FCDGBD∥BG90

0

，EBG

0FDFD,EG.EBG中，

2

2

，

2

2

EF

2

线段BE、EF、为边能构成个直角三形变式CFEF如图1-10，已知M为边的中点，、于、，接EF。证：

、

的平分线分别交ABAB变式如图1-11所，在中是的点，DMDN，果

CN

DM

2

DN

2

，求证：

AD

124.点评例－例3是用作倍长中线或倍长类中线的方法想求证的线段或角全等转化到另一个图形中，从而得到所求。例4已知：如图1-12（中，、CF分为边AC上的高D为

的中点，EF

于点，证：FM

.解析证明：如图1-12接DF、.BECF分别为边、上的高，BECBFC90

.在Rt和RtD是BC中点，DE

11,DF22DE又DM,DM是的垂直平分.EM.例5

已知：ABD和都是直角三角形，且

.如图1-13a连接DE解析

，设M为DE

的中点，连接MBMC.求证：MC.如图（长

交

于点

N

,

0

，∥，MENMDBMDMBD≌MB即M是BN中.MCMB

0

，点评例4、5是利用角三角形斜边中线的性质来证明线段相等，特别是例5隐中点的发现。例6问题一：如图1-14a四形

ABCD

中，

CD

，

、

分别是

、

的中点，连接

并延长，分别与BACD的长线交于点M，求证

.问题二：如图1-14（四形ADBC中与CD相于O，，、分别是

AD

的中点，连EF

，分别交

、AB

于点

MN

，判断

的形状，请直接写出结.问题三：如1-14cABC中ABD在AC上，、分是BC、的中点接EF判断的形状并证.

并延长

的延长线交于点EFC

接GD，解析证明）图1-14（接BD

，取BD

的中点，连接

HE、.，、F分别是CAD的中点，1FHABFH∥21HEDC∥2HEHF,HFEFH∥MBHEBME,CNEBMECNE.等腰三角形（提示：取

AC

中点H

，连接

FHEH

）AGD是直角三角形证明：如图1-14e接BD

，取

的中点H

，连接

HE.0000F是的中点，，HF

AB.HFEBGE.1同理，HE∥CDHE2HEFEFCABCDHEHFEHEF.，BGEAFG.AGF等边三角形.AFFG,GFFDFGDFDG30

0

，90

0

，即AGD是角三角形点评例是用三角形中位线的性，将相等的线段缩小一半放在了新的图形中，减半的线段仍然相等。例7如图1-15知ABC中ABACCE是AB

边上的中线，延长AB到，使BDAB，证：解析

CD.证法一：如图1-15（长CE到点FEF,连BF.

，使得点是A的中点，BE.AE,FE,EBF,EBFABACABCACBACBDBC.DBCFBCDBCCDCFCE.0000证法二：如图1-15（长EHCE,连接.

CE

到点，得EA中点BE.EHECAEHCEBBEBEC.CBEHAE又ABBCACABBCACAHCAB,CBDBD,AC.ACBD,DBCBC,DBC。DC证法三：如图1-15（长

BC

到点F

，使得，接AF.BEAF.ABAC,ACB.180CBDFCACBDACAB,ACCB,FCACBDAC,≌CBDAF1CEAF,21CD,即CD2证法四：如图1-15（

CD

中点

，连接

BF点为D中点，1FBAC,FB.2ACFB.ACABC又BF∥,ACBFBC.EBCEBCFBCCEBCFBCE.1CFCD21CE即CDCE.2证法五：如图1-15（长AC到，得

，连接

BF.AFACAFABF≌ACDBFE是B中点，ABF的中位11BF22CDCE证法六：如图1-15（

AC

中点

，连接

BF与D与D点为AD中,CD，FB.,ACB,即EBC点为A中点点为AC中点FCEBEBFC,EBC,EBCFCBCEBFFBCD,CECD,即CD.点评例是道多解题，思路很宽利用中点作中线、倍长中线、中位线等辅助线是常用的解题方法。例8问题1：图（角ABC中，点D是AB边中点，

AEBC,BFAC

，垂足分别为点E、F、BF交于点接、DE

的为.问题：图1-16（角ABC中

CB

，点D是AB边的中点点M三角形ABC的部，且

MACMBC

过点M分别作

MEMFAC

,足分别为点EF，接DE、，证：DE.问题3如图1-16（c将上面问题2中的条CB，其他条件不变，试探究之的量关系，并证明你的结.解析问题

k

的值为1.问题证明：如图1-16（）CBCACAB.MACMBCCABCBA即MBA.MEBC,MFAC垂分别点、F，AFMBEM./AFMBEM,BEMAF.点D是边的点，.DAF,BEAF,问题

DEDF证明：如图1-16e）示，分别取AMBM的点G、，连接DGFG、、点D、、H分别是AB、、的中点，DG∥BM,DH∥,DG

1BM,DHAM.2四边形DHMG是平行四DGM.MEBCMF垂分别为点、F.FG

11AMBH.22FGEHGAFGFA.FGM,EHMFAMEBM,EHM,即DGFDHEEHDGEHDDGFHD≌DEDF小试牛刀小试如图在等腰直角三角形ABC中

，为AC上中点，过D点作DEDF,交AB点，交BC于F若AE=4FC=3，求EF的。小试如图1-18，在正方形ABCD中F是AB点，连接，作DE交BC于，，点E交CF于，求证：AM=AD。小试如图1-19所，AM证：。

DAE

M是BE的点AB=AC，AD=AE，求小试如图所，等腰梯形ABCD中

AB∥CD

，

ADBC

，

AC

与BD

交于点，

AOB60

，

P、R

分别是

OA

的中点，求证：是正三角形。小试如图1-21所

ABC

中

EBC边中点证：M、Q、M、Q、MNQABD