第5讲 数列的综合应用

n13213213123142n132132131231421113132*2n12nn1nn1nnn1nn47第5

数列的综合应一、选择题1．已知{a}为等比数列．下面结论中正确的是

()．A．a＋a≥2aC．若a＝a，则＝a

B．2＋2≥a2D．若a>，则aa解析

设公比为q，对于选项A，当<0q≠1时不正确；选项当q＝－1时不正确；选项D，当a＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a2＋a2≥2aa＝22.答案

B2满足a＝1a＝loga＋1(n∈*)它前n项和为S则满足S>102512n2nnn的最小n值是

()．A．9

B．C11D．12解析

因为a＝，loga＝loga＋1(n∈N)，所以＝2a，a＝2

n1，S＝2n答案

－1，则满足SnC

>1025的最小值是11.3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生1产已知该生产线连续生产年的累计产量为f(n＝n(n＋1)(2＋1)吨如2果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是

()．A．5年

B．年

C．7年

D．8年解析

由已知可得第n年的产量a＝f(n)－fn－1)＝3n2当n＝1时也适合题意令a

n

≥150n≥52数列从第8项开始超过150这条生产线最多生产7年．答案

C4．在等差数列{a}，满足3a＝7a，且a>0，是数列{a}前项的和，若n1114331137n4n2na2nnn12nn1114331137n4n2na2nnn12nS取得最大值，则n＝A．7B．

C．9

()．D．10解析

设公差为d，由题设3(a＋3d)＝7(a＋6d)，所以d＝－

433

a<0.解不等式a

n

>0即a(n－1)a所以n<，则n≤9，4当n≤9时，a

n

>0，同理可得n≥10时，a<0.故当n＝9时，S答案C

n

取得最大值．5．设＝f(x)是一次函数，若f(0)＝，且，f(4)，(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋(2n)等于

()．A．n(2＋3)C．2n(2＋3)

B．(n＋4)D．2n(n＋4)解析

由题意可设f(x)kx1(k≠则(k＋1)2

＝k＋1)×k＋1)，解得k＝2，f(2)f(4)…＋f(2n)＝(22＋1)＋×4＋1)＋＋(2×n＋1)＝2n

2

＋3n.答案

A6．若数列{a}为等比数列，且a＝1，＝2，则Tn1n可化为()

1a12

＋

1a23

＋…＋

1an＋1

的结果A．1－

14n

B．1－

n21C.3

1D.1解析a＝2－1，设b＝＝n＋11则T＝b＋…＋b＝＋2n4nnnn2nacnn123nn123＝lg＝21223nnnn4nnnn2nacnn123nn123＝lg＝21223nnn112421＝＝131－4答案

C二、填空题7．设关于x的不等式2－＜2nxn∈N*

的解集中整数的个数为a，数列a}的前n项和为S，则的值为________．解析

由x

－x2nx(N，得0＜x2n＋1，因此知a＝2n.∴S

100＝2

＝10100.答案

10100ac8．已知ab，c成等比数列，如a，，b和b，，都成等差数列，则＝xy________.解析

赋值法．如令abc别为2,4,8，可求出x

a＋bb＋c＝3y＝＝6，22＋＝2.xy答案

29．设曲线y＝n

(n∈N在点(1,1)的切线与轴的交点的横坐标为，令a

n＝lgx，则a＋＋a＋…＋a的值为________．解析

由y′＝(n＋1)

n

xN)，所以在点(1,1)的切线斜率kn＋1，故切线方程为＝n＋1)(x－＋1＝0得x＝an＋1

＋a＋＋…a

＝lgx1－2.答案

12991＋lgx＋…＋lgx＝lg(x··…·x)＝lg××…×99＋199＋1－210．数列{a}的前n项和为S，若数列{a}的各项按如下规律排列：812345678910n4kk1kn38nn1k812345678910n4kk1kn38nn1k112123123412n－1，，，，，，，，，，…，，，…，2334445555nnn

，…，有如下运算和结论：3①a＝；②数列a，a＋a，a＋a＋a，a＋a＋a＋，…是等比数列；n2＋n③数列aa＋aa＋a＋aa＋a＋a＋…的前n项和为T＝；1234567895④若存在正整数k，使S<10，≥10，则a＝.＋7其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)解析

依题意列{a}中的项依次按分母相同的项分成一组组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于

1＋2＋3＋…＋nn＋1

＝

n2

.对于①，注意到21＝

67<24<22

＝28，因此数列{a

n

}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a＝，因此①正确．对于②、③，设b

n

为②、③中的数列的通项，则b＝1＋2＋3＋…＋nn＋1

＝，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其n项和21nn2n等于×＝，因此②不正确，③正确．224对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于

6

2

＋6＝10，因此满足条件42的a

k

应是第6组中的第个数，即a＝

57

，因此④正确．综上所述，其中正确的结论有①③④.答案

①③④nn557nnnnnnn53571nnnnn－1－nn＋1223nnnn557nnnnnnn53571nnnnn－1－nn＋1223nnnnn11231n12n12212331231321nn1n1n三、解答题11．已知等差数列{a}的前n项和为S，S＝，a和a的等差中项为13.(1)求a及S；4(2)令b＝(n∈N*，求数列{b}的前n项和T.a2－1解

(1)设等差数列a}的公差为d，因为S＝5a＝35，a＋a＝26，2＝7，所以＋d＝26，

解得a＝3，d＝2，所以a＝3＋2(n－1)＝2n＋1，nS＝3n＋×2＝n2

2

＋2n.(2)由知a＝2n＋1，4111所以b＝＝＝－，a2－1nnn＋111111所以T＝1n＝1－＝.n＋1n＋112．设数列a}的前项和为S，满足S＝a－2n1＋5，a成等差数列．求a的值；求数列{a}的通项公式；1113(3)证明：对一切正整数，有＋＋…＋<.aaa2

＋1，∈N*，aa＋(1)解

当n＝1时，2a＝a－4＋1＝a－3，

①当n＝2时，2(＋a＝a－8＋1＝a－7，又a，a＋5，a成等差数列，所以＋a＝a＋5)，由①②③解得a＝1.

(2)解

∵2S＝a－2n＋1＋

＋1，∴当n≥2时，有2S＝a－2－

n

＋1，n1n＋n1nnnn11＋2－1nn0＋22n－1n2nn321－∴＋＋…＋<1＋22222n－1n137nnnnnnnK1nn13n1n＋n1nnnn11＋2－1nn0＋22n－1n2nn321－∴＋＋…＋<1＋22222n－1n137nnnnnnnK1nn1322n11nnnnnnnnnna3a两式相减整理得a－a＝2n，则－·＝1，＋222n－1a3a即＋2＝＋2＋2＝3，知222项为

33，公比为的等比数列，2a∴＋2＝32n－1

n

－1

，即a＝3n－n，n＝1时也适合此式，∴＝3n－2n.(3)证明

11由(得＝.an3n－2n当n≥2时，即3－2n>2n，111113.a1a2an213．已知各项均不相等的等差数{a}的前四项和为，a，，a恰为等比数列{b}的前三项．(1)分别求数列a}，{b}的前n项和S，；ST(2)记数列ab}的前n和为K，设c＝，求证：c>(n∈N)．nnnnn＋1nn(1)解

＋d＝14，设公差为d，则解得d＝1或d＝0(舍去)，a＝2，n所以a＝n＋1，＝.2又a＝2，d＝1，所以＝4，即b＝4.b所以数列{b}的首项为b＝2，公比q＝＝2，b所以b＝2n，＝n1－(2)证明

因为K＝2·2＋3·2

＋…＋n＋1)·2n

，

①故2K＝2·22

＋3·23

＋…＋·2n

＋n＋1)·2n

＋1

，

②①－②得－K＝2·2122＋23＋…＋n－n＋1)·21

，∴K＝n·2n1

ST，则c＝＝.K2n1n1n＋n1nnnn12n12nn222111221122122121n22n11n1n1n＋n1nnnn12n12nn222111221122122121n22n11n12n1n2n12n1n2n12n2＋2an1＋n22nn2n2221222222222222222222c－c＝－222n＋1

－1＝

2

n

＋1＋n＋2>0，2n＋2所以c>(n∈N)．＋14．设数列{a}的前项和S满足S＝aS＋a，其中a≠0.＋(1)求证：a}是首项为的等比数列；n(2)若a＞－1，求证：≤a＋a，并给出等号成立的充要条件．21n证明

(1)由S＝S＋，得a＋a＝aa＋a，即a＝aa.a因a≠0，故a＝1，得＝a，a又由题设条件知S＝S＋a，S＝aS＋a，＋＋＋两式相减得S－S＝a(S－S)，＋＋＋即a

n＋2

＝aa

＋

，由a≠0，知a

n＋1

a≠0，因此＝a.n＋1a综上，＝a对所有∈*成立．从而{a}是首项为1，公比为a的等比数a列．n(2)当n＝1或2时，显然S＝a＋a)，等号成立．1n设n≥3，a＞－且a≠0，由(知，a＝1，a＝an所以要证的不等式化为：n1＋a＋a＋…＋an1≤(1＋n－1)(n≥3)，222

－1，即证：1＋a＋a＋…＋a

n≤2

n＋12

(1＋

n)(n≥2)，当a＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a＜1时，ar－1与an－r－1，r＝1,2，…，n－1)同为负