第10讲-数阵图(二)

第数阵和幻方二）幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题说公元前二千多年在大禹治水的时候黄河支流洛水浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案图1来人们把它称之为“洛书、相传在我国远古的时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的“河图实际上它是由九个数字排成一定的格式（如2图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是。一般地，在n×n（n行n列）的方格内，不重不漏填n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线n个自然数的和都相等，则称它n阶幻方。这个和叫做幻和，n叫做幻方又叫魔方，宫算或纵横。魔方：我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作MagicSquare，翻译成中文就是“幻方”或“魔方九宫算所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格个小方格分别填入19这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相相等，这样得到的图就叫九宫（算）图。纵横图：长期以来纵横图一直被看作是一种数字游戏一直到南宋时期的数学家杨辉才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究杨辉在他《续古摘奇算法一书中不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数中间数，四角数，其余数）三阶幻方：就是将九个连续自然数填入3×3（三行三列）的方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方奇数阶方：“罗伯楼贝法”西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。十七世纪，E路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣专门派La（楼贝使泰1687-1688Loubere：将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法1上行正中央，依斜填切忘，上出框往下填右出框时左放，排便在下格，右上排重个样。扬辉方：辉《续古摘奇算法中写“九子排列上下对易左右相更，四维挺出”杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图1-9-3中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。但可惜的是杨辉只停留在个别纵横图的构造上没有上升成一般的理论他所造出的百子图，虽然每一行和，每一列都等于（…97+98+99+100=505，但两对角和不是等于505直到我国清代的张潮（—？）费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是505的百子图。偶数阶方：对称交的方法将数依次填入方格中，对角线满足要求。调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调。调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。数阵图一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。1、封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数采用的方法是建立有关的等式通过以最小值到最大值的讨论来确定每条边上的几个数之和再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出—6）2、辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式通过整除性的讨论确定出中心数的取值然后求出各边上数的和后将和自然数分拆中心数的若干个自然数之和定边上其他的数。（1—9和相等）3、复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口，和相等）典型举例1将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于。解：中间两个数重叠数，重叠次数都是1，所以两个重叠数之和为21×2-(1+2+…。在已知的八个数中，两个数之和为的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。练11、把1—6六个数字填入下图，使每个大圆上四个数字之和都是16。2、把2、46、81012、14这八个数分别填入下图，使每个大圆内五个数的和都是44典型举例2将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。解本题有三个重叠数即三角形三个顶点○内的数都是重叠数并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于11×3-(1+2+…。1～6中三个数之和等于的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三个重叠数是15，6，那么根据每条边上的三个数之和等11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是1～，不合题意。同理，三个重叠数也不能是，4，5。经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。练2将3—8这六个数分别填入下图中，使得每条边上的三数之和都是。典型举例3将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○中，使得三角形条边上的三个数之和都相等。解与典型例2同的是不知道每边的三数之和等于几因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×，得到每边的三数之和等于[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3=(21+重叠数之和)÷3=7+重叠数之和÷3。因为每边的三数之和是整数所以重叠数之和应是3的倍数考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。与例2方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和=9每边三数之和10每边三数之和11每边三数之和=12典型举例4将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。解：四个角上的是重叠数，重叠次数都是次。所以四个重叠数之和等于18×4-(2+3+…。而在已知的八个数中，四数之和为的只有：4+7+8+9=28或。又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。说明：以上例题都是封闭型数阵图。一般地，在m边形中，每条边上n个数的形如下图的图形称为封闭型图。“辐射型m-n图只有一个重叠数重叠次数是m-1同的是封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。练41、将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下面的图里，使得每条边上的三个数之和是12。2、将2—9这八个数填入下图，使每条边上的三个数的和都等于。典型举例5把1～7分别填入左下图中的七个空块里个圆圈里的四个数之和都等于。解：这道题的“叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为；有重叠次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3，即a+a+b+c+d=11。因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。练5在下面圆圈内的空白处填入78、、，使每个院内的四个数的和都相等。4

61典型举例6把1—9这九个数填入下图的方格中并使每一行每一列和对角线上的数的和都相等解：方一：（1）先填中心数，把1－9按从小到大顺序排成一排，第五个数填在中心格。（2）将剩下的八个数排成两排，第一排为、2、3、4、第二排为8、7、6、5即12348765根据两排数字填上四个角，四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个数，这两列数字按对角填。用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。方法二（1）这9数字按照如下方式排列：12369（2）下两个数互换：92361（3）左右两个数互换：92761（4）填入表格即可。练61、将20－填入九宫格中，使每行、每列、两条对角线的和相等1、将17－填入九宫格中，使之成为一个三阶幻方A基础训练1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。2.把1～6这六个数填入右上图的○里每个圆圈上的四个数之和都相等。3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于。4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。6.把1，3，5，7，911，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。答案与提示练习17每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13每个圆周的四数之和=14每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=163.提示四个顶点数之和为15×4－(1＋＋…＋8)=24四个顶点数有3，7，8和4，5，7，8两种可能。经试验只有左下图一个解。4.提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于(1＋2＋…＋8)÷7＝18。填法见右上图。(填法不唯一)5.提示：顶上的数重叠2次，其它数都重叠1次。(1＋2＋…＋7)×2＋顶上数=每条线上的和×5，56＋顶上数=每条线上的和×。由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上数。所以每条线上的三个数之和为(56＋4)÷5＝12。经试验填法如上图。(填法不唯一)6.与例类似(见上图)。冲刺冠1.把18这8个数,分别填入图中的方格内每个数必须用一次),使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.2.把~1111个数分别填入如下图11○内,使每条虚线上三个○内数的和相等,一共有几种不同的和?3.在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,那么x().13174.在图的每个圆圈内填上适当的质数(不得重),使每条直线上三个数的和相等,且均为偶数.5.图有五个圆,它们相交相互分成9个区域现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2.3.4.5.6.7.9个数,使每圆内的和都等于15.1066.10个连续的自然数中第个的数是9,把这10数填入图中的10个方格内,每格填一个数,要求图中3×2的正方形中个之和相等,那么这个和最小值是______.7.将~10这十个数分别填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,每个三角形三个顶点上○内数的和也相等8.把116这16个数,填入图中16个○内,使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等.9.将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.10.在图中的空格中填入四个数,使每个横行每个竖行的三个数的积都相等.9020365012411.在图中分别填入,,,和,,,,,使每横行,每竖列每斜3551515151515行的三个分数之和都相等.12.1这十二个数,填入下图中个○内使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.13.将15这五个数填入下图中,使每行和每列的3个数的和相等.14.将19这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等.4747——————————————答案———