第3章 3.2 第 2 课时 一元二次不等式的应用

<a≤a22<a≤a22第时

一元二次不等的应用学习目标掌握一元二次不等式的实际应点).2.解三个“次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点．[自预习·探新知]1．分式等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型

同解不等式

>0(<0)

法一：或法二：f(xg()>0(<0)法一：

≥0(0)

或法二：

>a

先移项转化为上述两种形式思考：

x3－3>0与(x3)(＋等价吗？将>0变形为(－3)(x，x2＋2有什么好处？[示]等式．

等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不2．(1)不等式的解集为R(或恒成立的条件不等式

ax＋bx＋c>0＋bx＋<0xxxxxxa＝0

b＝0，>0

b＝0，<0a≠0

a>0Δ

有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f(x≤a成立⇔f(x≤amaxf(x≥a成立⇔f(x)≥amin思考x－在区间[2,3]恒成立的几何意义是什么？区[2,3]不等x－的解集有什么关系？[示]

x－1>0在区间[上恒成立的几何意义是函数y＝－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴方．区间[内的元素一定是不等式x－的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．3．从实际题中抽象出一元二次不等式模型的步骤：阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．解不等式(或求函数最值)．回扣实际问题．思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？[示]

解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为，用来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．[础自测]1．思考析1不等式>1的解集为x)求解mf(x)恒成立时，可转化为求解f()的最小值，从而求出m的范围．()[案]

×

×11x－1提示：(1)⇒－1>0⇒{x故(>()恒成立转化为mf(x)，(2)．max2xxx422222xxx422222x＋12．不等式≥5的解集是________．≤

14

x＋15－1[不等式⇔≥⇔≤，

得10<x≤.]3已知关于的不等式－＋2a>0R上恒成立则实数a的取值范围是________.0,8[因为x

－ax＋2a>0在R上恒成立，所以a－4×2，所以a4.在如图3-2-1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长(单位：m)的取值范围是．图3-2-1x40－[10,30][矩形高为，由三角形相似得：＝，x>0yx<40，4040y<40，≥，整理得y＋x＝，将y＝40－x代入≥300整理得x＋300≤0，解得x≤30.][合探究·攻重难]分式不等式的解法解下列不等式：

－40x(1)

x－3x＋2

<0；(2)

x＋12x－3

≤1.[]

x－3(1)⇔(－3)(＋⇔－2<<3，x＋2∴原不等式的解集为{|2<x<3}．3322232322232∵

x＋12x－3

≤1，∴

x＋12x－3

－1≤0∴

－x＋42x－3

≤0，即

x－4x－

≥0.此不等式等价于(－4)且x－≠，3解得x或≥4，∴原不等式的解集为或x≥4

[律方法]．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分不要去分母，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．[踪训练]1．解下列等式：

x＋15x＋≥0；x－3x＋1[解]

(1)根据商符号法式

x＋1x－3

≥0可化成等式组解这个不等式组，可得x≤－1或即知原不等式的解集为{|≤－1x．不等式

5x＋1x＋12<3可改写为－，即<0.x＋1x＋1＋1可将这个不等式转化成2(x－＋1)<0，解得－1<4225225222225225222所以，原不等式的解集为{－1<x．一元二次不等式的应用国家原计划以2元/吨的价格收购某种农产品吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入元纳税元称作税率为个百分点，即．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加x个百分点．试确定的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的思路探究将文字语言转换成数学语言“率降低x个百分点”即调节后税率为(8x“收购量能增加x个百分点，此时总收购量为(12x%)吨，“原计划的78%”为2×8%×[]

设税率调低后“税收总收入”为元．y＝2＋2x%)·(8－12＝－m(x＋42x－400)(0<≤8)．依题意，得y≥2m8%×78%12即－m(x整理，得x

＋42－≥2×8%×78%，＋42－880，解得－≤≤2.根据x的实际意义，知x≤8，所以x的范围为0,2]．[踪训练]2．某校园有一块长为m，宽为m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[]

设花卉带的宽度为x，则中间草坪的长为(2x)m，宽1为(2)m.据题意可得(800－2x)(600－2)×800×600理得x－700＋600×100≥0，即600)(x－≥，所以≤100或x≥，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0,100]不等式恒成立问题2222222222222222222222[究问题]1．若函数f()＝ax＋＋2对切∈R，f(恒成立，如何求实数的取值范围？提示：若a0显然f(x不能对一切∈都成立．所以a≠0，此时只有二次函数(x)＝

2

＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口0向上时，才满足题意，则8a<0，

1解得a2若函数f()＝－ax－3对∈[－3，1]恒有f(x)<0立，如何的范围？提示：要使f(x)<0[－－1]恒成立则必使函数()＝x－－3在[3，－1]上的图象在轴的下方，由f()的图象知，此时a应满足＋，即2<0，解得a<－2.故当a∈(－∞，－时，有f(xx[－3，－1]时恒成立．3．若函数＝＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－时<0恒成立，如何求的取值范围？提示：由于本题中已知a的取值围求，所以我们可以把函数f(x转化为关于自变量是a函数，求参数x的取值问题，则令ga＝2·a＋x－4＋4.要使对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需满足－2x＋，10＋4<0.因为x－2x＋4<0解集是空集，

即所以不存在实数x使函数y＝立．

＋2(a－2)x＋4对意a[3,1]<0恒成已知f(x＝x＋ax＋3－a，若x∈－f()≥0恒成立，求的取值范围.思路探究对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题以利用函数的图象与性质求解．2232242a2mina2224a2min2222222222222222232242a2mina2224a2min222222222222222[]

设函数f(x＝x

＋＋3－a在x∈－2,2]的最小值为ga，则a当对称轴＝－－2，即a>4时，(a)＝(－＝7－3a0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．aa当－∈[－2,2]，即4≤a≤4时，g(a)＝3－－≥，解得－≤a≤2，此时－4a2.a当－>2即a<4ga＝f(2)7＋a0解得≥－此时－≤a<－4.综上，a取值范围为－7≤a≤2.母题探究：1.(变结论例条件不变，若f(x)≥恒成立，求的取值范围．[]

若x∈[－2,2]，f(x≥2成立可转化为：当x∈[－2,2]时，f(x)≥2min<－2，f≥或

－≤2，－≥，或f，解得a取值范围为[－5，－2＋22]．2(变条件将例题中的条件“f(x＝x＋ax＋3－a∈[－2,2]f(≥0成立”变为“不等式＋x＋a－3>0的解集为R”求a的取值范围．[]

法一：∵不等式＋x＋a－3>0的解集为，∴函数f(x＝x

＋2x＋a

2

－3图象应在轴上方，∴44(a－3)<0，解得a>2a<－2.法二：令f(x＝x＋2x＋a－，要使x＋＋a－3>0的解集为则a满足f(x)＝amin

2

－4>0，解得a或<－2.法三：由x＋2x＋a－，得a>x－2＋3，22222maxminx2222222222222maxminx22222222即

2

>＋

＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使

2

大于－x＋＋4最大值，即a>4，故a>2或a<－2.[律方法]1．不等式＋bx＋>0的解是全体实数(或恒成立的条件是：当a0时，b＝0，>0；，当a≠0时，2．不等式＋bx＋<0的解是全体实数(或恒成立的条件是：当a0时，b＝0，<0；，当a≠0时，3．()≤恒成立≥[f)]，f(x≥a恒成立≤[f()][当达标·固双基]1．若集合＝{|－1≤2＋1≤3}，B＝≤0

，则A∩B等于)A．{x－1≤<0}C．{|0≤<2}

B．{x|0<x≤1}D．{≤≤1}B

[＝{－≤x≤1}，B＝{|0<x≤2}，∩B＝{|0<x≤1}．]2．若集合＝{|－ax＋1<0}＝，则实a的取值集合是)A．{aaC．{≤4}

B．{a≤aD．{|0a≤4}D

[a时符合题意．>0时，相应二次方程中的

a4a≤0，得{a≤4}综上，得{≤a≤4}，故选3．不等式

x＋4

>0的解集为________．{－4<x<－3或x－1}

[式可转化为(x＋1)(＋2)(x＋x＋4)>0，根据数轴穿根法，解集为－x－3x－1.]4－2x＋a－8≤0对于任∈恒成立的取值范围是________.－∞

[不等－＋a－8≤0转化a≤－＋2＋8对任∈恒成立，设f(x＝－x＋2x＋8，易知fx在[1,3]上