与角度有关的计算的讲义

与角度有关的计算一：角的概念以及度分秒的换算1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点就是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角通常用三个字母及符号2”来表示，在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示.2．用量角器测量角度时一定要做到两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐、量角器的0刻度线和角的一条边对齐．3．角的常用度量单位是度、分、秒．11°的60为1分，记作1‘，即1°=60'・1’的丄为1秒，记作1",即1'=60".60例题：1•下列四个图中，能用z1,zAOB,zO三种方法表示同一个角的是（ ）练习：•在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么zAOB的大小为（）A．69°B．111°C．141°D．159°A．69°B．111°C．141°D．159°•如图，在一次活动中，位于A处的1班准备前往相距5km的B处与2班会合，那么用方向和距离描述2班相对于2班相对于1班的位置是（）A.南偏西A.南偏西50°,5kmC.北偏东40°,5kmB.南偏西40°，5kmD•北偏东50°,5km4.54.27°可化为（ ）A.54°16'26"BA.54°16'26"B.54°28‘C.54°16'15"D.54°16'12"5.下列计算错误的是（）A.0.25°=900"B,125.45°=12545, C.1000"=(5)。 D.1.5°=90‘13二：角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。

2•尺规作图，作zAOB的平分线的方法:(1)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M,N。(2)分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。(3)作射线OP。例题：1•已知zAOB=20°,zAOC=4zAOB,OD平分zAOB,OM平分zAOC,］则zMOD的度数是.练习：1•已知：如图，zAOB二丄zAOC,zCOD二zAOD=12O°,求：zCOB的度数.32•如图，已知zAOC=zBOD=70°,zBOC=31°,求zAOD的度数.3•如图，已知OE是zAOC的角平分线，OD是zBOC的角平分线.(1)若zAOC=120°,zBOC=30°,求/DOE的度数;(2)若/AOB=90°,/BOC=a,求/DOE的度数.•如图，点O是直线AB上一点，OC平分/AOD，/AOE=@/DOE.5(1)若/AOC=35°，求/BOD的度数；(2)若/COE=80°,求/BOD的度数.三：余角和补角如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角./A+/C=90°,/A=90°-/C,/A与/C互余；余角的性质：同角的余角相等。比如：/A+/B=90°,/A+/C=90°,则：/C=/Bo等角的余角相等。比如：/A+/B=90°,/D+/C=90°,/A二/D则：/C二/B。如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角/A+/C=180°,/A=180°-/C,/A与/C互补;补角的性质：同角的补角相等。比如：zA+/B=180°/A+zC=180°,则：zC=zBo等角的补角相等。比如:zA+zB=180°,zD+zC=180°/zA=zD，则:zC=zBo例题：1•如图，点A、B、O在同一条直线上，/COE和zBOE互余，射线OF和OD分别平分zCOE和zBOE,贝QzAOF+zBOD与zDOF的关系 A 0 B练习2•如图1,已知zMON=14O°,zAOC与zBOC互余，OC平分zMOB,图1 图2 B(1)在图1中，若zAOC=40°,贝0zBOC= °,zNOB= (2)在图1中，设zAOC=a,zNOB=p,请探究a与p之间的数量关系(必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由)；(3)在已知条件不变的前提下，当zAOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时a与B之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时a与B之间的数量关系.3•如图,O,D,E三点在同一直线上，zAOB=90°.图中zAOD的补角是 ,zAOC的余角是 ；如果OB平分zCOE,zAOC=35°,请计算出zBOD的度数.4•已知：zAOB的补角等于它的余角的6倍.(1)求zAOB的度数；(2)如图,OD平分zBOC,zAOC=2zBOD，求zAOD的度数.•如图，已知zAOB=90°,zCOD=90°,OE为zBOD的平分线，zBOE=17°18「，求zAOC的度数.四：对顶角和邻补角1.如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角的性质：（1）一个角与它的邻补角的和等于180°；（2）如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直。例题：1•已知，直线AB和直线CD交于点O,zBOD是它的邻补角的3倍，则直线AB与直线CD的夹角是度．2．（1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；（2）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角；3）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角；

3•如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分zBOD.若zAOC=68°,zDOF=90°,求zEOF的度数；若OF平分zCOE,zBOF=15°,若设zAOE=x°,求zEOF的度数.综合练习：1•如图，直线a、b相交于点O,将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则z1= °.2•如图，直线AB、CD相交于点O,zAOD=14O°,zCOE=2O°,则zBOE二 3•—个角的补角为158°12‘，那么这个角的余角等于 4.如图，/AOB=90°,OC平分zAOB,OE平分zAOD，若zEOC=60°,则/BOD二 5.一个角的补角加上14°，等于这个角的余角的5倍，这个角的度数是 6如图，直线AB、CD相交于点O/BOF二zDOE=90°上DOF=58°,则/BOE二 ,zAOC= 7.计算：(1)48°39'+67°31'-21°17‘； (2)23°53,x3-107°43,-5.8•如图，已知OE是/AOC的角平分线，OD是/BOC的角平分线.(1)若/AOC=12O°,/BOC=3O°,求/DOE的度数;

(2)若zA0B=9Q0,zB0C=a,求/DOE的度