已知三角函数值求角学案

7.3.5已知三角函数值求角学习目标核心素养1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角．(重点、难点)2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.【新知探究】1.已知正弦值，求角对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中－1≤y≤1，－\f(π,2)≤x≤\f(π,2))).2.已知余弦值，求角对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．3.已知正切值，求角一般地，如果y＝tanx(y∈R)且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，那么对每一个正切值y，在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，有且只有一个角x，使tanx＝y，记为x＝arctan_yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜x＜\f(π,2))).思考：符号arcsina(a∈[－1,1])arccosa(a∈[－1,1])，arctana(a∈R)分别表示什么？[提示]arcsina表示在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，正弦值为a的角；arccosa表示在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))上，余弦值为a的角；arctana表示在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，正切值为a的角．【小试身手】1.下列说法中错误的是()A．arcsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－eq\f(π,4) B．arcsin0＝0C．arcsin(－1)＝eq\f(3,2)π D．arcsin1＝eq\f(π,2)C[根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－eq\f(π,2)，故C项错误．]2.已知α是三角形的内角，且sinα＝eq\f(\r(3),2)，则α＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)D[因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sinα＝eq\f(\r(3),2)时，α＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，故选D．]3.已知tan2x＝－eq\f(\r(3),3)且x∈[0，π]，则x＝________.eq\f(5π,12)或eq\f(11π,12)[∵x∈[0，π]，∴2x∈[0,2π]．∵tan2x＝－eq\f(\r(3),3)，∴2x＝eq\f(5π,6)或2x＝eq\f(11π,6)，∴x＝eq\f(5π,12)或eq\f(11π,12).]已知正弦值求角【例1】已知sinx＝eq\f(\r(3),2).(1)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，求x的取值集合；(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；(3)当x∈R时，求x的取值集合．[思路探究]尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．[解](1)∵y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，且sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，∴x＝eq\f(π,3)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))是所求集合．(2)∵sinx＝eq\f(\r(3),2)＞0，∴x为第一或第二象限角，且sineq\f(π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝eq\f(π,3)或x＝eq\f(2,3)π，∴x的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))).(3)当x∈R时，x的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,3)))，或x＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．2.对于已知正弦值求角有如下规律：sinx＝a(|a|≤1)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))x∈[0,2π]x＝arcsina0≤a≤1－1≤a＜0x1＝arcsinax2＝π－arcsinax1＝π－arcsinax2＝2π＋arcsina1.已知sinα＝eq\f(3,5)，根据所给范围求角α.(1)α为锐角；(2)α∈R.[解](1)由于sinα＝eq\f(3,5)，且α为锐角，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＝arcsineq\f(3,5).(2)由于sinα＝eq\f(3,5)，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsineq\f(3,5)(k∈Z)，α2＝2kπ＋π－arcsineq\f(3,5)(k∈Z)，即α＝nπ＋(－1)narcsineq\f(3,5)(n∈Z).已知余弦值求角【例2】已知cosx＝－eq\f(1,3).(1)当x∈[0，π]时，求值x；(2)当x∈R时，求x的取值集合．[思路探究]解答本题可先求出定义arccosa的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．[解](1)∵cosx＝－eq\f(1,3)且x∈[0，π]，∴x＝arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))).(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．∵cosx＝－eq\f(1,3)，故x是第二或第三象限角．由(1)知x＝arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))是第二象限角，又coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－arccos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(arccos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝－eq\f(1,3)，且2π－arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，所以，由余弦函数的周期性知，当x＝arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2kπ或x＝2π－arccoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2kπ(k∈Z)时，cosx＝－eq\f(1,3)，即所求x值的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ±arccos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))，k∈Z)).cosx＝a－1≤a≤1，当x∈[0，π]时，则x＝arccosa，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccosa，k∈Z}.2.已知cosx＝－eq\f(\r(2),2)且x∈[0,2π)，求x的取值集合．[解]由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限角，由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＝－coseq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－eq\f(π,4)＝eq\f(3π,4).又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋π))＝－coseq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x＝eq\f(π,4)＋π＝eq\f(5π,4).故所求角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4))).已知正切值求角【例3】已知tanα＝－3.(1)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求角α；(2)若α∈R，求角α.[思路探究]尝试由arctanα的范围及给值求角的步骤求解．[解](1)由正切函数在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数可知，符合条件tanα＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3)．(2)α＝kπ＋arctan(－3)(k∈Z)．1.已知角的正切值求角，可先求出eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的角，再由y＝tanx的周期性表示所给范围内的角．α＝a，a∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctana，k∈Z}．3.已知tanx＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.[解]∵tanx＝－1＜0，∴x是第二或第四象限角．由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－taneq\f(π,4)＝－1可知，所求符合条件的第四象限角为x＝－eq\f(π,4).又由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)π))＝－taneq\f(π,4)＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－eq\f(5,4)π，∴在[－2π，0]内满足条件的角是－eq\f(π,4)与－eq\f(5π,4).三角方程的求解[探究问题]1.已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？[提示]不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．2.怎样求解三角方程？[提示]明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsina或arccosa或arctana表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角．【例4】若cosx＝coseq\f(π,7)，求x的值．[思路探究]先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角．[解]在同一个周期[－π，π]内，满足cosx＝coseq\f(π,7)的角有两个：eq\f(π,7)和－eq\f(π,7).又y＝cosx的周期为2π，所以满足cosx＝coseq\f(π,7)的x为2kπ±eq\f(π,7)(k∈Z)．已知三角函数值求角的步骤：1由三角函数值的符号确定角的象限；2求出[0，2π上的角；3根据终边相同的角写出所有的角.4．已知sinx＝eq\f(\r(2),2)，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))[∵x∈[0,2π]，且sinx＝eq\f(\r(2),2)＞0，∴x∈(0，π)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y＝sinx递增且sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴x＝eq\f(π,4)，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＝sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)，∴x＝eq\f(3π,4)也符合题意．∴x的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).]【课堂小结】1.反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围名称反正弦反余弦反正切记法arcsinαarccosαarctanα取值范围eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))[0，π]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))2.已知三角函数值求角的步骤一、定象限；二、找锐角；三、写x∈[0,2π]的角；四、给答案．3.若求得的角是特殊角，最好用弧度表示．【当堂达标】1.已知cosx＝－eq\f(\r(2),2)，π＜x＜2π，则x＝()A．eq\f(3π,2) B．eq\f(5π,4)C．eq\f(4π,3) D．eq\f(7π,4)B[因为x∈(π，2π)且cosx＝－eq\f(\r(2),2)，∴x＝eq\f(5π,4).]2.函数y＝eq\r(3－2x)＋π－arccos(2x－3)的定义域是________．eq\b\lc\[\rc