复数的三角形式及其运算

第十章复数复数的三角形式及其运算课后篇巩固提升基础巩固1.12(cos30°+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°)=(322322解析12(cos30°+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°=12×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°=3(cos135°+isin135°)=3-=-322故选C.答案C2.cosπ2+isinπ2×332+32+解析cosπ2+isin=3cos=3cos=-32+故选C.答案C(cosπ+isinπ)÷2cosπ3+isin+3i 3+3i 3解析4(cosπ+isinπ)÷2=2cos=2cos=-1+3i.故选C.答案C÷[2(cos60°+isin60°)]=()12+32+解析2÷2[(cos60°+isin60°)]=2(cos0°+isin0°)÷[2(cos60°+isin60°)]=cos(0°-60°)+isin(0°-60°)=cos(-60°)+isin(-60°)=12-故选B.答案B(cos3π+isin3π)÷[3(cos2π+isin2π)]=() 3 3解析9(cos3π+isin3π)÷[3(cos2π+isin2π)]=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]=3(cosπ+isinπ)=-3.故选B.答案B6.复数z=(sin25°+icos25°)3的三角形式是()195°+isin195°75°+icos75°15°+isin15°75°+isin75°解析z=(sin25°+icos25°)3=(cos65°+isin65°)3=cos195°+isin195°.故选A.答案A7.复数z=(cos40°+isin40°)6的结果是()12+12+解析z=(cos40°+isin40°)6=cos240°+isin240°=-12-故选D.答案D(cos15°+isin15°)×532+12解析2(cos15°+isin15°)×53=2(cos15°+isin15°)×5(cos30°+isin30°)=10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)]=10(cos45°+isin45°)=102=52+52i.答案52+52i9.12(cos60°-isin240°)×6(cos30°-isin210°)=.解析12(cos60°-isin240°)×6(cos30°-isin210°=12(cos60°+isin60°)×6(cos30°+isin30°=3[cos(60°+30°)+isin(60°+30°)]=3(cos90°+isin90°)=3i.答案3i(cos210°+isin210°)×5(-sin30°+isin60°)=.

解析2(cos210°+isin210°)×5(-sin30°+isin60°)=10(cos210°+isin210°)×(cos120°+isin120°)=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]=10(cos330°+isin330°)=103=53-5i.答案53-5i11.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.解所得向量对应的复数为(-2+2i)×(cos75°+isin75°)=22(cos135°+isin135°)×(cos75°+isin75°)=22[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]=22(cos210°+isin210°)=22=-6-2能力提升1.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于()A.3 3 解析复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,所以tanα=12,tanβ=1所以tan(α+β)=tanα+tanβ故选D.答案D2.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是()32±C.±32+12i D解析-i=cos3π2+∴-i的立方根为cos3π2+2kπ3+isin3当k=0时,得cosπ2+isinπ2=当k=1时,得cos7π6+isin7π6当k=2时,得cos11π6+isin11故选D.答案D3.把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM且模相等,已知z2=-1-3i,2+22-22+22-2解析由复数乘法的几何意义得,z1cos=z2cos5又z2=-1-3i=2cos4∴z1=2=2cos=-2+z1的辐角主值为3π故选A.答案A4.在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量OZ(O为坐标原点),设|OZ|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为θ,则z=r(cosθ+isinθ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),则(-1+3i)10=()024-1043i 024+10243i3 +5123i解析根据复数乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),得(-1+3i)10=210cos=1024cos=1024-=-512+5123i.故选D.答案D5.设复数z=cos23π+isin23π,则11- 3C.12 D.解析1=1=1=1=12sicos=cos0+isin02sin1=1=33i故选B.答案B6.设32+x2i2008=f(x)+ig(x)[f(x),g(x)均为实系数多项式],则32 B.32 12解析取x=1,则32+x2i2008=f(⇒cosπ6+isinπ62⇒cosπ6+isinπ64⇒cos2π3+isin2π3=f(1)+ig(1)故选C.答案C÷[3(cos135°+isin135°)]=.

解析6÷3[(cos135°+isin135°)]=6(cos0°+isin0°)÷[3(cos135°+isin135°)]=2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)]=4[cos(-135°)+isin(-135°)]=-22-22i.答案-22-22i8.已知复数z=cos2π3+isin2π3,则z3+z解析根据题意,有z3+z2z2+z+2=1答案129.复数z=16(cos40°+isin40°)的四次方根分别是.

解析z=16(cos40°+isin40°)的四次方根分别是4(k=0,1,2,3),当k=0时,2(cos10°+isin10°);当k=1时,2(cos100°+isin100°);当k=2时,2(cos190°+isin190°);当k=3时,2(cos280°+isin280°).答案2(cos10°+isin10°),2(cos100°+isin100°),2(cos190°+isin190°),2(cos280°+isin280°)10.设复数z1=3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1·z22的对应点在虚轴的负半轴上,且argz2∈(0,π),求z2解因为z1=2cosπ设z2=2(cosα+isinα),α∈(0,π),所以z1z22=8由题设知2α+π6=2kπ+3π2(k所以α=kπ+2π3(k∈Z又α∈(0,π),所以α=2π所以z2=2cos2π3+isin2π11.已知复数z=32-12i,ω=22+22i,复数zω,z2ω3