高数下册笔记精

§1

一.基本概念:1.微分方程; 2.常微分方程; 3.偏微分方程; 4.微分方程的阶; 5.微分方程的解; 6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分7.微分方程的初始条件与特解.8.微分方程的积分曲线:

P263．5．写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程:

1．曲线在点处

,

的切线的斜率等于该点横坐标的平方.

,则由题意得:

.--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．

2．曲线上点

,

,且线段

,且设曲线在点

1/

,

1/

/

/

．．．．．．．①

．．．．．．．．．．②

．．．．．．．．．．②

P

P

--------这就是所需确定的曲线应满足的微分方程．§2．可分离变量的一阶微分方程 F

,,

,

,

,

,

g

..

,

,

,

,

转化求解法―――即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说， du du

,

du

参见Ｐ271．例１．(

)

,

du

du

du

du

（i）.当

（ii）.当

278．例１）

e

p

e

p

..

n

n

dz

n

dz

p

-----这是一个一阶线性非齐次方程!进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程（＊）的解!

du

du

du

．．．．例２．Ｐ282.9.（3）解方程

u

eu

du

ueu

du

du

．．．．

n

,

,

d dp

p

dp

,

p

解法去求解．．．．．得其通解设为

p

(

,

)

p

,

(

,

)

,

,

d

dp dp

dp

p

p

p

dp

,

p

..

p

(,

)

,

,

,

d d dp

p

，则

p

p

p

e

e

e

e

p

e

(

)

．．．．

p

,

,

d dp

p

p

dp

dp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p)

．．．．．．（＊）的方程为二阶线性微分方程．

（i）.当

..

（ii）.当

(

)

A

(

)

(

)

２．多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材Ｐ296

(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

*

(

)

*

５．二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（Ｐ297

*

(

)

(

)

(

)．）

P(

)(

)

(

)

(

)

P(

)(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

(

)

(

)

A

(

)

(

)

７．例题分析Ｐ326.１．(4)．已知

,

．．．．（＊），则由定理３知：非齐次通解

＝齐次通解

＋非齐次特解

*

，现由题意知＂

非齐次特解

*

＂可取..

,

(

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

@

(

)

(

)

(

)

@

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

A

(

)

(

)

A

(

)

(

)(

)

(

)

．．．(４)

),

),

(

)

．．．．．（１）的两个线性无关的特解，

W

．．．．（２）W

W

W

W

．．．．（１）之中，(i)．如果

p

),

p,q(ii)．如果

p,q

q

r,r..

r,r

(i)．若特征根r,r

r

r

(ii)．若特征根r,r

(

)r

(iii)．若特征根r,(iii)．若特征根r,r

r

i

e

(

)

的求解举例：参见教材Ｐ304--305

例２;

p,q

(

)

．．．．．（１）的两个线性无关的特解，

W

．．．．（２）W

W

W

W

例如Ｐ313.例２．求方程

rrr

r

,

W

e

e

e

W

W

e

e

e

e

e

e

e

d

e

d

e

e

三．本章杂例Ｐ327．7．设有可导函数

..

e

p

e

p

e

e

一.

①向量与自由向量;②单位向量与零向量;③向量的共线与共面;④向量的模,方向角,以及投影等.二.

三.向量的线性运算在空间直角坐标系下的表达

r

r r r r

r

b

Ab

,

,br

r r r r r

b

jr

b

b

jr

br

r r r r

r

b

Ab

,

,br

r,brrr r

r

r

[,

b,]A

(b)rrr,

b,

rrr

[,

b,]

rrr

rrr(i)

,

b,

(ii)

,

b,

一.

rrr

M(

,

,

)[,

b,]

F

,,

的解之间能构成一一对应,则称这F

,,

..

建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲面上任取一点

M

,,,然后利用该曲面的特征并将其等价地表M

,,的坐标应满足的条件式即可!

:试求球心在点M

(

,

,

)

,半径为

解:设解:设M

,,为所求球面上任意一点,则由

M

M

uuuuuur

M

M

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

二.

旋转曲面的定义(参见

坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程及其特点:例如:

,

,

(

g

,

g

,

三.

1.柱面的定义(参见

2.四种常见的柱面:

g

(

,

)

;②椭圆柱面

;③抛物柱面

;④双曲柱面

b

3.二元方程在空间直角坐标系中的几何意义:

.例如:方程

,

,

四.

掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般的二次曲面形状的思想方法;

b

b

b

b

..

§4

一.

F

(

,,)

F

,,

,,

(

,,)

二.

二.

三.

四.

)

)

§5

r一.

M

(

,

,

)

{

,,

C}

(

)

(

)C

(

)

r二.

{

,,

C}

b

b

,

b,

四.

五.

P

(

,

,

)

d

d

一.

空间直线的一般方程(或称交线式方程)：一.

空间直线的一般方程(或称交线式方程)：

C

C

.. 二.

空间直线的点向式方程(或称对称式方程)：

m

p

二.

空间直线的点向式方程(或称对称式方程)：

m

p

三.

四.

m

p

mt

M

(

,

,

),M

(

,

,

)

五. 六.

七.

C

C

,

,

C

,

,

C

(

C

)(

C

)

rr

,

为待定系数！）．．．．．．．．（１）

/

设点

M

(

,

,

)

M

,,

uuuuuur

rM

M

M

(

,

,

)

d

..

L

(

,

,

)L

(

,

,

)

r rL

P

(

,

,

)L

(

,

,

)

r

r

r

rL

P

L

P