导数与函数的极值、最值训练题

导数与函数的值、最训练题一、题点全面练1．函数f()＝e，x∈[0,4]最小值(A．0

1B.eC.

4e

D.

2e1－x解析：选A′()，e当∈[0,1)时，′()0，()单调递增，当∈(1,4]时，′()0，()单调递减，4因为(0)0，＝＞，所以当＝时，(x有最小值，最小值为0.e2．若函数fx＝e－sinx在＝0处有极值，则的值()A．－1C．1

B．0D．e解析Cf′(x)＝e－cosx数fx)＝e－在x＝0处有极值f′(0)＝－＝，解得＝，检验＝合题意，故选C.3．已知x2函数f(＝－ax2极小值点，那么函数f()的极大值为()A．15C．17

B．16D．18解析：选D因＝是函数f(＝－ax＋的极值点，所以′(2)＝－3＝0，解得a＝，以函数f(x)的析式为(x＝12＋，′()＝3－12，由′()＝，x＝±2故函数fx)在(－2,2)上是减函数，(－∞，－，(2，＋∞)是增函数，由此可知当＝－时，数f)取得极大值－2)18.4.(2019·合肥模)已知函数()＝x＋＋cx的大致图象如图所示，则＋等()A.C.

83

4B.316D.3解析：选C由象可知(x)的图象过(与2,0)，是函数(x的极值点，因此1＋＋＝＋b＋c解得＝－＝所以x＝－x

＋以f′()＝x－x＋，，x是程f′()＝3x

－x＋＝的个不同的实数根，因此x＋28＝，＝，以x＋＝＋)－＝－＝.335．(2019·泉州质)已知直线＝a别与函数y＝

和＝

－交于，点，则，之间最短距离()A.C.

3－ln2＋ln22

5－ln2B.25＋ln2D.2解析：选D由y＝得x＝ln－，由y＝－得x＝y＋，所以设(y＝|222122＝1－(ln－1)＝－ln＋，′()＝2－＝y

(＞0)当＜＜222时，h′(y＜；当＞时，′()＞，即函h()在区递减，在222222区间，＋∞递增，所以y)＝

25＋2－＋＝.226．若函数fx＝－x＋a(a＞的大值是正数，极小值是负数，则的值范围是________．解析：′()＝x－a＝3(x＋)(－)，由′()＝0得＝±，当－a＜＜时′()＜0，数f()单调递减；当＞或x－时，′()＞，数fx单递增，∴(的极大值为(－，极小值为f()∴(－)＝－＋＋＞且a)＝3a

＋＜，解得＞

22

.2∴的值范围，＋∞

.2答案：，∞17．(2019·长沙调)已yf(x)是奇函数，当∈(0,2)时x)＝ln－2当∈－时f(x)的最小值为1，则a＝________.解析：由题意知，当(0,2)时fx)的大值为1.a，πx13πππa，πx13πππ11令′()＝－＝，＝，x1当0＜＜时，′()；a1当＞时′()＜0.a1∴()＝f－＝1，解得a＝答案：8．(2018·内江一模)已知函数f()＝sinx＋cos(，∈R)，曲线y＝fx)在点

π处的切线方程为＝x－.3(1)求，的；f3π(2)求函数gx＝在2

上的最小值．π解：(1)由切线方程知，当x＝时y＝0，31∴＋＝22∵′()＝cosx－sinx13∴由切线方程知，′a－b＝1，2213∴＝，＝－.22(2)由1)知，f(x)＝sinx－cos＝sin223

，∴函数()＝

sinπx2

x－sinx，′()＝.设()＝cos－sinxx2

，则′()xsin＜，故(在

上单调递减．∴)＜(0)，∴(在

π2上单调递减．∴函数(x)在小为.2π19．已知函数fx)＝lnx(a0)．x求函数fx的单调区间和极值；是否存在实数，使得函数fx)在1，e]上最值为0？若存在，求出a的；若不存在，请说明理由．aaa1a1aaaaaa1a1aaaa1ax－解：由题意，知函数的定义域{|＞0}，′()＝－＝(＞0)x1(1)由′()＞，解得x＞，a1所以函数fx的单调递增区间＋1由′()＜0，解得0＜＜，a1所以函数fx的单调递减区间

.1所以当x时，数f(有极小值f(2)不存在，理由如下：

1＝ln＋＝－lna，无极大．a由1)可知，当x∈

时，函数fx单递减；当∈＋∞

时，函数fx单调递增．1①若0＜≤1即a时函()在1e]为增函数，a故函数fx的最小值为(1)＝ln11＝，显然≠0故不满足条件．111②若1＜≤e即≤＜时，函数()在数，在eae

上为增函数，1故函数fx)的最小值为f)的极小值＋a＝－lna＝0，即lna＝，解1得＝，≤＜，故不满足条件．e11③若＞e0＜＜数()在[1上为减函数函数(x的最小值为(e)ae1111＝ln＋＝＋＝0，即＝－，而0＜＜，故满足条件．eeee综上所述，不存在这样的实数，使得函数fx在1，e]上的最小值为0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1郑质)若函数f()x－－＋为)．＝，＝－或a4，b＝11．，＝－或＝－4，＝．，＝11

在x＝时极值10则的111a3111a3D．以上都不对解析：选C由意′()＝3x

－－，则′(1)0，即＋＝3.①f(1)＝－－＋＝10，即

－－＝9.②联立①②，解得

＝－，＝11

或经检验

不符合题意，舍去．故选．(2019·唐山联)若函数(x)＝－x1在定义域内的一个子区(－，2＋内在极值，则实数a的值范围是________14－解析由题意得函数()定义域(∞)′()＝2－＝令′()2x＝，x去2a－1≥0，则由已知得2，2

3解得1≤＜2答案：213．(2019·德州质)已知函数fx)＝－x＋在10a)有最大值，则实数a的3取值范围是_______．解析由′()＝－＋知f()在(－∞－上单调递减在－1,1]单调递增，在(1，＋上单调递减，故函数(x在(a,10－a)上存在最大值的条件为，＞，a，

11其中f(1)≥()，即为－＋1≥－a＋，33整理得a

－a≥0，即－－3＋3≥0即a－1)(a＋＋1)3(a－1)≥0，即a－1)(a＋≥0(a－(＋2)≥0即

，＞，

解得－1.a－a＋

，答案：－(二)素养专练——学会更学通4.[直观想象]已知函数f)是上可导函数，()的导函数f′()图象如图，则下列结论正确的()．，分是大值点和极小值点．，分是大值点和极小值点．()在区间a，)是增函数．()在区间b，)是减函数解析选C由值点的定义可知a是小值点，无极大值点导函数的图象可知，函数f(在区间a，＋∞)上增函数，故选C.5.[数学建模]如图半径为103的半圆(为圆)皮上截取一块矩形材料ABCD，其中在径上C，圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD成一个以AD为线的圆形罐子的侧(计剪裁与拼接损耗，记圆柱形罐子的体积为V，设＝，则V＝________.解析：设圆柱形罐子的底面半径为，由题意得AB＝300－所以＝π

，

3

－＝πr，300x13所以＝＝π(－＋x)(0＜＜3)′＝－(－100)ππ3＝－(＋10)(－10)(0＜＜3)．π令′＝，得＝负值舍，则′，随x变化情况如下表：xV′V

(0,10)＋

100极大值

(10,103)－πxxxx)＝1－ln(1＋xπxxxx)＝1－ln(1＋x所以当x＝，取极大值，也是最大值，2000所以＝.2000答案：π6．[数学运]已知函数f(x)＝ln(＋－

ax＋x＋

，其中a为常数．(1)当1＜≤2，讨论fx)的单调性；1(2)当＞时，求(x＝lnln(1的最大值．解：(1)函数fx)的定义域为(－，∞)，′()＝

x2a＋x＋

，3①当－＜a－＜，1＜时，2当－1＜＜a－3或＞，′(＞，则f在－，2－3)，，∞)上单调递增，当2－＜＜′()＜0，则(x在2－3,0)上单调递减．3②当2－＝，即a＝时f′(x)≥0，(x)在－，∞)单调递增．③当2－＞，即a＞时2当－1＜＜x＞2－时′()＞，则()在－1,0)，－3，＋∞)单调递增，当0＜＜a－3时，′()＜0，则f()(0,2－3)上单调递减．3综上，当＜＜时f()(－1,2－3)，，＋∞)单调递增，在(2－上单233调递减；当a时，(在(－，＋∞)单调递增；当＜≤2时(在－1,0)，(2a22－，∞)上单调递增，(0,2a－3)上单调递减．11(2)∵(＝＋)x＝