不定积分知识点复习

不定积分知识点复习知识总述原函数与不定积分概念不定积分性质不定积分基本解法习题小结

一,知识总述前面我们学习了一元函数微分学.但在实际的科学领域中,我们常常遇到与此相反的问题:即寻求一个(可导)函数,要求其导数等于一个已知函数.这样就产生了一元函数积分学.积分学分为不定积分和定积分两部分.本章我们学习的是不定积分,先从导数的逆运算引出不定积分的概念.然后介绍了其性质,最后系统地介绍一些常用的积分方法.

返回不定积分的基本概念和性质---理解

基本积分公式---熟记

分部积分法和换元积分法---熟练运用换元积分法---如何做变量代换

分部积分法---如何选取分部积分公式中的“u”和“v”难点：重点：分部积分公式:

返回基本要求①正确理解原函数和不定积分概念②熟记基本积分公式③熟练地运用换元积分法和分部积分法④能用待定系数法求基本的有理函数积分

返回例定义：

二,原函数与不定积分概念

返回若存在可导函数对原函数的研究须讨论解决下面两个问题(1)是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子则由的定义关于原函数的说明：

返回（左、右极限存在且相等）而已知这样得到矛盾.这说明没有原函数.既然不是每一个函数都有原函数,那么具备什么条件的函数才有原函数?连续函数都有原函数.对此我们有如下的结论:

返回（2）原函数是否唯一?若不唯一,它们之间有什么联系?

①若，则对于任意常数，②若和都是的原函数，则（为任意常数）

返回任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数,再加上积分常数即可.

返回例1求解:解:例2求

返回例3设曲线通过点(1，2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解:设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为

返回由不定积分的定义，可知微分运算与求不定积分(不考虑后面的常数C)是逆运算。结论：

返回此性质可推广到有限多个函数之和的情况

三,不定积分的性质

返回即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合.注意到上式中有n个积分号,形式上含有n个任意常数,但由于任意常数的线性组合仍是任意常数,故实际上只含有一个任意常数.结合结论(1)与(2),我们可以得到

返回实例提问:能否根据求导公式得出积分公式？

既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.

四,不定积分的基本解法

返回基本积分表是常数);说明：简写为

返回

返回以上13个公式是求不定积分的基础,称为基本积分表,必须熟练掌握.

返回例4求积分解:根据积分公式（2）

返回例5求积分解:注1,从该题中我们可以看出熟记基本积分表的重要性.2,检验积分结果是否正确,只要把最后的结果求导,看其导数是否等于被积函数.

返回(第一类换元法)例6求积分解:原式

令u=2x+1,上式

返回令(第二类换元法)例7求积分那么解:原式

返回考虑公式(分部积分法)例8求积分那么解:原式

将看做公式中的看做公式中的

返回例9求积分解:原式(有理函数积分法)

返回解:所求曲线方程为

返回说明①求不定积分时一定要加上积分常数,它表明一个函数的原函数有无穷多个,即要求的是全体原函数,若不加积分常数则表示只求出了其中一个原函数.②写成分项积分后,积分常数可以只写一个.③积分的结果在形式上可能有所不同,但实质上只相差一个常数.

返回求下列不定积分.

五,习题

返回

不定积分作为高等数学中的一个重要内容,前后连接着导数(或微分)与定积分的内容.它既是求导思想的逆向运用,也是定积分的基础.同时它本身在数学,物理等领域的实际模型构造中有着重要作用.