复数的加法与减法

第十章复数复数的运算复数的加法与减法课后篇巩固提升基础巩固1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于() 解析z=3-i-(i-3)=6-2i.答案D2.已知复数z满足1-z=2+i,则|z|=()A.10 B.5 C.3 D.2解析复数z满足1-z=2+i,可得-z=1+i,所以|z|=12+12答案D3.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为() 解析z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0,∴a=-1.答案D4.设复数z满足z-i=3+i,则|z|=()A.5 C.13 解析由z-i=3+i,解得z=3+2i,所以z=3-2i,则|z|=32+(-2答案C5.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解析|AB|=|2i-1|=5,|AC|=|4+2i|=20,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.答案A6.如图在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,复数z=z1+z2,则复数z所对应的点位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由分式的几何意义得z1=1+2i,z2=1-i,则z=z1+z2=1+2i+1-i=2+i,对应点的坐标为(2,1),位于第一象限.故选A.答案A7.复数z满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是()A.5 B.6C.5+1 5解析|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,则z的几何意义是以C(2,-1)为圆心,半径为1的圆,|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离,则最大值为|OC|+1=22+(-1)2+1=5答案C8.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=.

解析|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|=32+4答案59.已知z1=32a+(a+1)i,z2=-33b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=43,则a+b=.解析∵z1-z2=32a+(a+1)i-[-33b+(b+2)i]=32a+33b+(由复数相等的条件知3解得a=2,b=1答案310.已知z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ且z1-z2=513+1213i,则cos(α+β)解析∵z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,∴z1-z2=(cosα-cosβ)+i(sinα+sinβ)=513∴cos由①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=12答案111.在复平面内,O是原点,OA,OC,AB对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么OB对应的复数为,BC解析OB=OA+AB=(-2+i)+(1+5i)BC=OC-OB=(3+2i)-(-1+6i)=答案-1+6i4-4i12.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是2+i,向量BA对应的复数是1+2i,向量BC对应的复数是3-i,求C点在复平面内的坐标.解∵AC=∴AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,设C(x,y),则(x+yi)-(2+i)=2-3i,∴x+yi=(2+i)+(2-3i)=4-2i,故x=4,y=-2.∴C点在复平面内的坐标为(4,-2).能力提升1.设向量OP,PQ,OQ对应的复数分别为z1,z2,z3,那么+z2+z3=0 =0+z3=0 +z2-z3=0解析∵OP+∴z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.答案D2.设z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i(i为虚数单位),且|z1+z2|=5,则()A.(x+3)2+(y-4)2=5 B.(x+3)2+(y-4)2=25C.(x-3)2+(y+4)2=5 D.(x-3)2+(y+4)2=25解析由z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i,得z1+z2=(x+yi)+(3-4i)=(x+3)+(y-4)i,又|z1+z2|=5,∴(x+3即(x+3)2+(y-4)2=25.故选B.答案B3.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心解析由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,∴P为△ABC的外心.答案A4.▱ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是() +8i +4i解析AB对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则DC对应的复数为(3-5i)-z.由平行四边形法则知AB=∴-1+3i=(3-5i)-z,∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故选C.答案C5.复数z满足|z-i|=|z+3i|,则|z|()A.最小值为1,无最大值B.最大值为1,无最小值C.恒等于1D.无最大值,也无最小值解析设复数z=x+yi,其中x,y∈R,由|z-i|=|z+3i|,得|x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|,∴x2+(y-1)2=x2+(y+3)2,解得y=-1;∴|z|=x2+即|z|有最小值为1,没有最大值.故选A.答案A6.非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量OA,OB,若|z1+z2|=|z1-z2|,则(A.OA⊥OB B.|OA|=|C.OA=OB D.解析在四边形OACB内,OC=∵非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量OA,则由复数加法的几何意义可知,|z1+z2|对应OC的模,|z1-z2|对应AB的模,则|OC|=|AB|,由OC=可知三边长OACB为平行四边形,则四边形OACB为矩形.∴OA⊥OB.故选答案A7.设复数z满足z+|z|=2+i,则z=.

解析设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=x2∴x+yi+x2+y2=∴x解得x∴z=34+i答案34+8.复数z1=cosθ+i,z2=sinθ-i,则|z1-z2|的最大值为,最小值为.

解析|z1-z2|=|(cosθ-sinθ)+2i|=(=5=5-当sin2θ=-1得最大值6,当sin2θ=1得最小值2.答案629.设z=a+bi(a,b∈R),且4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,又ω=sinθ-icosθ,求z的值和|z-ω|的取值范围.解∵4(a+bi)+2(a-bi)=33+i,∴6a+2bi=33+i,∴6∴z=32∴z-ω=32+12i-(sinθ=32∴|z-ω|=3=2=2=2-∵-1≤sinθ-π∴0≤2-2sinθ-π∴0≤|z-ω|≤2,故所求得z=32+12i,|z-ω10.已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=12+32i,求复数z1,z2及|z1解由于|z1+z2|=12+3设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为OA,则|OA|=|OB|=|OC|=1,故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上,如图.易得:cos∠AOC=12故∠AO