均值不等式及其应用设计

均值不等式及其应用教学设计【教学目标】1、学会推导并掌握均值不等式定理.2、能够简单应用定理求最值.【教学重点】1、均值不等式定理的证明和应用.2、会用均值不等式解决简单的最大（小）问题.【教学难点】注意运用定理求最大（小）值的条件【教学过程】给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值①.两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？①多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义.例如，a，b，c的算术平均值为，几何平均值为（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义.a12b14131从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.一般地，我们有如下结论.均值不等式如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立.证明因为a，b都是正数，所以即而且，等号成立时，当且仅当，即a=b.值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如①一定是正确的.均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.那么，均值不等式有什么几何意义呢？将均值不等式两边平方可得如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？【探索与研究】如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心.已知AC=a，BC=b，D为半圆上一点，且DC如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心.已知AC=a，BC=b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，给出均值不等式的另一个几何意义。【典型例题】例1已知x>0，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值解因为x>0，所以根据均值不等式有其中等号成立当且仅当x=，即x2=1，解得x=1或x=-1（舍）.因此x=1时，y取得最小值2.例2已知ab>0，求证：，并推导出等号成立的条件.证明因为ab>0，所以，.根据均值不等式，得即当且仅当，即a2=b2时，等号成立。因为ab>0，所以等号成立的条件是a=b.例3（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？分析在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值.解（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy=100.因为x>0，y>0，所以所以2（x+y）≥40.当且仅当x=y时，等号成立，由x=y可知此时x=y=10.xy=100因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2（x+y）=36，即x+y=18.因为x>0，y>0，所以因此，即xy≤81.当且仅当x=y时，等号成立，由x=yx+y=18,可知此时x=y=9因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.例3的结论可以表述为：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.例4已知x∈（-1，3），求y=（1+x）（3-x）的最大值，以及y取得最大值时x的值.解当x∈（-1，3）时，一1<x<3，因此1+x>0，3一x>0.由均值不等式可得，从而（1+x）（3-x）≤4，即y≤4.当且仅当1+x=3-x，即x=1时，等号成立.从而x=1时，y取得最大值4.例5已知a，b是实数，求证：a2+b2≥2ab.并说明等号成立的条件.证明因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，所以a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab.等号成立时，当且仅当(a-b)2=0，即a=b.例5的结论也是经常要用的.不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别.区别在于例5中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况。例6已知a，b∈R，求证：（1）(a+b)2≥4ab；（2）2(a2+b2)≥(a+