圆的一般方程2

圆的一般方程课标要求素养要求1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.新知探究人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色.万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽.”圆是完美的图形，这节课我们继续学习在平面直角坐标系下有关圆的知识.问题一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？若是圆，它的圆心坐标和半径分别是什么？提示当满足D2＋E2－4F>0时才表示圆，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).1.圆的一般方程的定义圆的一般方程中有三个待定系数D，E，F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就明确了将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的左边配方，并把常数项移到右边，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(D2＋E2－4F,4).(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.2.用待定系数法求圆的方程的大致步骤(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.拓展深化[微判断]1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(√)2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(×)提示当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程.3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)[微训练]1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A.(2，3) B.(－2，3)C.(－2，－3) D.(2，－3)答案D2.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是()A.以(a，b)为圆心的圆B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(－a，－b)答案D3.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________.解析由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＝2，,－\f(E,2)＝－4，,\f(\r(D2＋E2－4F),2)＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝8，,F＝4.))答案4[微思考]1.若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？提示x2＋y2＋F＝0(F<0).2.若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？提示①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.题型一圆的一般方程的概念【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0，解得m<eq\f(1,5)，故实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))).圆心坐标为(－m，1)，半径为eq\r(1－5m).规律方法方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.特别提醒在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数.【训练1】(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________；(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.解析(1)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2,2)，故圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，半径为eq\f(\r(2)|a|,2).(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1))，由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，∴－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq\f(1,2)eq\r(42＋22＋16)＝3，∴该圆的面积为9π.答案(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq\f(\r(2)|a|,2)(2)9π题型二求圆的一般方程【例2】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程.解设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.规律方法待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.(3)解此方程组，求出D，E，F的值.(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.【训练2】已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.解设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4D＋2E＋F＋20＝0，①,2D＋6E－F－40＝0.②))设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.题型三求动点的轨迹方程角度1直接法求轨迹方程【例3－1】求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的eq\f(1,2)的点M的轨迹方程.解设点M的坐标是(x，y)，则eq\f(|MO|,|MA|)＝eq\f(1,2).∴eq\f(\r(x2＋y2),\r(（x－3）2＋y2))＝eq\f(1,2).化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.角度2代入法求轨迹方程【例3－2】已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.解设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y.))∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－8x0－6y0＋21＝0.∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋eq\f(21,4)＝0.角度3定义法求动点的轨迹方程【例3－3】已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.解法一设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.又因为kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法二同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法三设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).由直角三角形的性质，知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).规律方法求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.特别提醒在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.【训练3】已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.))①∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq\o\al(2,0)＝9.②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数学运算素养.2.圆的一般方程具有的特征(1)x2，y2项的系数应相等.(2)没有xy项.(3)D2＋E2－4AF>0.3.圆的一般方程与标准方程的联系(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径.(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径需要代数运算才能得出.(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程.特别提醒对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件.二、素养训练1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()π ππ D.π解析原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝eq\r(2)，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.答案C2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析若方程表示圆，则1＋1－4k>0，∴k<eq\f(1,2).答案D(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直线方程是()＋y－3＝0 －y－3＝0－y－6＝0 ＋y－6＝0解析过点M的最长弦所在的直线应为过点M的直径所在的直线.易得圆的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为eq\f(y－1,0－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即x－y－3＝0.答案B4.(多填题)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.解析∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋eq\f(5,2)＝0，此时D2＋E2－4F＝1＋4－4×eq\f(5,2)＝－5<0，方程不表示圆.答案(－2，－4)55.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，所以4＝eq\f(x0＋x,2)，3＝eq\f(y0＋y,2)，于是有x0＝8－x，y0＝6－y.①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＝4，②把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆.基础达标一、选择题1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2，3)，4 D.(2，－3)，16解析由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.答案C2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是()A.点 B.直线C.线段 D.圆解析∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.故选D.答案D3.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq\r(5)为半径的圆的方程为()＋y2－2x＋4y＝0 ＋y2＋2x＋4y＝0＋y2＋2x－4y＝0 ＋y2－2x－4y＝0解析直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0，))得C(－1，2).∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.答案C4.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，又方程可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋(y－a)2＝－eq\f(3,4)a2－3a，故圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，a))，r2＝－eq\f(3,4)a2－3a.由r2>0，即－eq\f(3,4)a2－3a>0，解得－4<a<0，故该圆的圆心在第四象限.答案D5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是()A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－（－1）,x0－2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝\f(x0＋2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝3，))故C′(－2，3)，∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.答案C二、填空题6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是________.解析因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.又由4＋9－4m＞0，得m＜eq\f(13,4).故m＜－13.答案(－∞，－13)7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为________.解析设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝6，,F＝0，))故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.答案x2＋y2－8x＋6y＝08.已知实数x，y满足y＝eq\r(8－x2＋2x)，则t＝eq\f(y＋3,x＋1)的取值范围是________________.解析由y＝eq\r(8－x2＋2x)得(x－1)2＋y2＝9(y≥0)，它表示以(1，0)为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆(含x轴)，故t可以看作半圆上的动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A(－1，－3)，B(4，0)，C(－2，0)，则kAB＝eq\f(3,5)，kAC＝－3，∴t≤－3或t≥eq\f(3,5).答案(－∞，－3]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，＋∞))三、解答题9.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程.解设M(x，y)，∵A(12，0)，M为PA的中点，∴P(2x－12，2y).∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.10.已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq\r(3)，求圆的方程.解法一设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，①将P，Q的坐标分别代入①，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20，②,D－3E－F＝10，③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1，y2是方程④的两根.∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.法二求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a－1)，又圆C的半径r＝|CP|＝eq\r(（a－4）2＋（a＋1）2).②由已知圆C截y轴所得的线段长为4eq\r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|，故r2＝a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))eq\s\up12(2)，代入②并将两端平方，并整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5.∴当圆心为(1，0)时，半径r1＝eq\r(13)；当圆心为(5，4)时，半径r2＝eq\r(37).故所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.能力提升11.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()\r(5) \r(5) 解析由x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0知圆心为M(－2，－1).由题意知直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.答案B12.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程.解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f