《二项分布及其应用》同步练习

《二项分布及其应用》同步练习1.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()\f(3,10)\f(2,9)\f(7,8)\f(7,9)解析：设事件A为“第1次抽到是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到是卡口灯泡”，则P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(21,90)＝eq\f(7,30).在已知第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).答案：D2．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为eq\f(3,10)，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为eq\f(1,2)，则事件A发生的概率为________________．解析：由题意知，P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，∴P(A)＝eq\f(P(AB),P(B|A))＝eq\f(\f(3,10),\f(1,2))＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)3．有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．解析：设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝，P(A)＝.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，即这粒种子能成长为幼苗的概率为.答案：题组二相互独立事件4.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()\f(59,60)\f(3,5)\f(1,2)\f(1,60)解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5).因此，他们不去北京旅游的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5).答案：B5．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为()\f(1,8)\f(1,4)\f(1,2)\f(1,16)解析：理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件ACeq\o(B,\s\up6(－))，且A，C，eq\x\to(B)之间彼此独立，且P(A)＝P(eq\x\to(B))＝P(C)＝eq\f(1,2)，所以P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)·P(eq\x\to(B))·P(C)＝eq\f(1,8).答案：A6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝＝eq\f(2,3).P(B)＝＝eq\f(14,15).(2)因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－eq\f(2,3))(1－eq\f(14,15))＝eq\f(1,45)，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))·eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,45)＝eq\f(44,45).题组三独立重复试验7.位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq\f(1,2)，质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A．(eq\f(1,2))3B．(eq\f(1,2))5C．(eq\f(1,2))3D．(eq\f(1,2))5解析：质点由原点移动到(2,3)，需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有种，而每一次移动的概率都是eq\f(1,2)，所以所求的概率等于(eq\f(1,2))5.答案：B8．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是eq\f(3,4).(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解：(1)记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(Ai)＝eq\f(3,4)，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为P(A1A2eq\x\to(A3))＝P(A1)·P(A2)·P(eq\x\to(A3))＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(9,64).(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，故P(B)＝×(eq\f(3,4))3×eq\f(1,4)＋×(eq\f(3,4))4＝eq\f(189,256).题组四二项分布问题9.在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为eq\f(65,81)，则事件A在1次试验中出现的概率为________．解析：A至少发生一次的概率为eq\f(65,81)，则A的对立事件eq\x\to(A)：事件A都不发生的概率为1－eq\f(65,81)＝eq\f(16,81)＝(eq\f(2,3))4，所以，A在一次试验中出现的概率为1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)10．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解：(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．故P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－(eq\f(2,3))4＝eq\f(65,81)，所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为eq\f(65,81).(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝×(eq\f(2,3))2×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(8,27)，P(B2)＝×(eq\f(3,4))3×(1－eq\f(3,4))＝eq\f(27,64).由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)·P(B2)＝eq\f(8,27)×eq\f(27,64)＝eq\f(1,8).所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为eq\f(1,8).(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1,2,3,4,5)，则A3＝D5D4·eq\x\to(D3)·(eq\x