【名师导学】高考数学一轮总复习 7.46 类和分步计数原理与排列、组合的基本问题课件 理

第七章计数原理、概率与统计第46讲分类和分步计数原理与排列、组合的基本问题【学习目标】1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．2．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题．【基础检测】1．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法有()

A．81种B．64种C．48种D．24种A【解析】每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A.2．如图所示为一电路图，从A到B不同的线路可通电共有()A．4条B．6条C．8条D．10条C【解析】∵按上、中、下三条线路可分为三类：上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2×2＝4条，根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(条)．故选C.3．若从1，2，3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有()A．66种B．63种C．61种D．60种D【解析】从1，2，3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数的取法分为两类：第一类取1个奇数，3个偶数，共有C51C43＝20种取法；第二类是取3个奇数，1个偶数，共有C53C41＝40种取法．故不同的取法共有60种，选D.4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有____种．(用数字作答)840【解析】由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A74＝840种．①②③④

【知识要点】1．分类加法计数原理完成一件事件有n____不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝

种不同的方法．类m1＋m2＋m3＋…＋mn2．分步乘法法计数原理理完成一件事事情需要分分成n个不同的，完成第一一步有m1种不同的方方法，完成成第二步有有m2种不同的方方法，…，完成第n步有mn种不同的方方法，那么么完成这件件事情共有有N＝种不同的方方法．步骤m1·m2·…·mn3．分类加法法计数原理理与分步乘乘法计数原原理的区别别与联系分类加法计计数原理与与分步乘法法计数原理理，都涉及及的不同方法法的种数，，它们的区区别在于：：分类加法法计数原理理与有关，各种种方法，用其中的的任一种方方法都可以以完成这件件事；分步步乘法计数数原理与有关，各个个步骤_，只有各个个步骤都完完成了，这这件事才算算完成．完成一件事事情分类相互独立分步相互依存4．排列(1)排列的定义义：从n个不同的元元素中任取取m(m≤n)个元素，，叫做从n个不同的元元素中取出出m个元素的一一个排列．．(2)排列数的定定义：从n个不同的元元素中任取取m(m≤n)个元素的的个数，叫叫做从n个不同的元元素中取出出m个元素的排排列数，用用符号Anm表示．(3)排列数公式式：Anm＝，这里n，m∈N*，并且m≤n.按照一定的的顺序排成成一列所有排列n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)一个排列n！1并成一组所有组合1Cnn－mCnmCnm－151228【点评】理解排列数数和组合数数的意义，，灵活应用用组合数的的性质是解解决有关排排列数和组组合数方程程或恒等式式问题的关关键．C【解析】可分三步：：第一步，，填A、B方格的数字字，填入A方格的数字字大于B方格中的数数字有6种方式(若方格A填入2，则方格B只能填入1；若方格A填入3，则方格B只能填入1或2；若方格A填入4，则方格B只能填入1或2或3)；第二步，，填方格C的数字，有有4种不同的填填法；第三三步，填方方格D的数字，有有4种不同的填填法．由分分步计数原原理得，不不同的填法法总数为6×4×4＝96.(2)某出版社的的7名工人中，，有3人只会排版版，2人只会印刷刷，还有2人既会排版版又会印刷刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有有几种不同同的安排方方法．【解析】第一类：既既会排版又又会印刷的的2人全不被选选出，即从从只会排版版的3人中选2人，有3种选法；只只会印刷的的2人全被选出出，有1种选法，由由分步计数数原理知共共有3×1＝3种选法．第二类：既既会排版又又会印刷的的2人中被选出出1人，有2种选法．若若此人去排排版，则再再从会排版版的3人中选1人，有3种选法，只只会印刷的的2人全被选出出，有1种选法，由由分步计数数原理知共共有2×3×1＝6种选选法法；；若若此此人人去去印印刷刷，，则则再再从从会会印印刷刷的的2人中中选选1人，，有有2种选选法法，，从从会会排排版版的的3人中中选选2人，，有有3种选选法法，，由由分分步步计计数数原原理理知知共共有有2×3×2＝12种选选法法；；再再由由分分类类计计数数原原理理知知共共有有6＋12＝18种选选法法．．第三三类类：：既既会会排排版版又又会会印印刷刷的的2人全全被被选选出出，，同同理理共共有有16种选选法法．．所以以共共有有3＋18＋16＝37种选选法法．．【点评评】应用用分分类类加加法法原原理理的的题题时时，，分分类类标标准准要要明明确确，，分分类类时时应应不不重重不不漏漏，，应应用用分分步步计计数数原原理理解解题题时时，，要要合合理理分分步步，，各各步步互互不不干干扰扰，，难难度度较较大大．．【解析析】(1)只需需一一名名队队长长参参加加有有C21C84＝140(种)．(2)队长长至至少少有有一一人人参参加加，，有有两两种种情情况况：：①只有有一一名名队队长长参参加加有有C21C84种；；②两名名队队长长都都参参加加有有C22C83种，，所以以共共有有C21C84＋C22C83＝196(种)．(3)解法法一一：：可分分类类考考虑虑，，即即①1男4女；；②2男3女；；③3男2女；；④4男1女，，故故有有：：C41C64＋C42C63＋C43C62＋C44C61＝246(种)．解法法二二：：间接接法法，，10人中中取取5人的的组组合合为为C105，其其中中全全部部是是女女演演员员的的有有C65，所所以以符符合合题题意意的的有有C105－C65＝252－6＝246(种)．【点评】问题实实质是是具备备“无序性性”的组合合问题题．此此类问问题应应用组组合知知识求求解．．【解析】(1)利用元元素分分析法法，甲甲为特特殊元元素，，故先先安排排甲．．左、、右、、中共共三个个位置置可供供甲选选择，，有A31种，其其余6人全排排列，，有A66种，由由乘法法原理理得A31A66＝2160种．(2)位置分分析法法，先先排最最左边边，除除去甲甲外，，有A61种，余余下的的6个位置置全排排有A66种，但但应剔剔除乙乙在最最右边边的排排法数数A51A55种，则则符合合条件件的排排法共共有A61A66－A51A55＝3720种．(3)捆绑法法：将将男生生看成成一个个整体体，进进行全全排列列，再再与其其他元元素进进行全全排列列．共共有A33A55＝720种．(4)插空法法：先先排好好男生生，然然后将将女生生插入入其中中的四四个空空位，，共有有A33A44＝144种．(5)插空法法：先先排女女生，，然后后在空空位中中插入入男生生，共共有A44A53＝1440种．【点评】问题实实质是是具备备“有序性性”的排列列问题题．有有序性性的检检验方方法是是：将将其中中元素素互换换而结结果变变化为为有序序问题题，此此类问问题应应用排排列知知识求求解．．B【解析】分0个相同同，1个相同同，2个相同同进行行讨论论：若若0个相同同，共共有1个，若若1个相同同，共共有C41＝4个，若若2个相同同，共共有C42＝6个，因因此共共有1＋4＋6＝11个，故故选B.【点评】本小题题主要要考查查分类类计数数原理理及分分类讨讨论思思想．．1．计数数重复复或遗遗漏的的原因因在于于分类类、分分步的的标准准不清清，一一般来来说，，应检检查分分类是是否是是按元元素的的性质质进行行，分分步是是否是是按事事件发发生的的过程程进行行．2．排列列与组组合的的定义义相近近，它它们的的区别别在于于是否否与顺顺序有有关．．处理理排列列组合合问题题的一一般思思想是是先选选元素素(组合)，后排排列，，按元元素的的性质质“分类”和按事事件发发生的的连续续过程程“分步”，始终终是处处理排排列组组合问问题的的基本本方法法和原原理，，要注注意积积累分分类与与分步步的基基本技技能．．3．分清清问题题与元元素顺顺序有有关还还是无无关，，是区区分排排列组组合问问题的的原则则；搞搞清解解决问问题的的方法法需分分步还还是需需分类类，是是统计计排列列与组组合问问题总总数的的依据据．1．(2013福建)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关关于x的方程程ax2＋2x＋b＝0有实数数解的的有序序数对对(a，b)的个数数为()A．14B．13C．12D．10B【命题立立意】本题考考查分分类加加法计计数原原理，，属中中档题题．2．(2013四川)从1，3，5，7，9这五个个数中中，每每次取取出两两个不不同的的数分分别为为a，b，共可可得到到lga－lgb的不同同值的的个数数是()A．9B．10C．18D．20C【解析】从1，3，5，7，9中，每每次取取出两两个不不同的的数作作为a，b可以得得到不不同的的差式式lga－lgb共计A52＝20个，但但其中中lg9－lg3＝lg3－lg1，lg3－lg9＝lg1－lg3，故不不同的的值只只有18个．【命题立立意】本题考考查排排列知知识，，考查查思维维的全全面性性，属属中档档题．．1．有四四名同同学同同时参参加了了学校校的100m，800m，1500m三项跑跑步比比赛，，则获获得冠冠军(无并列列名次次)的可能能性有有()A．43种B．34种C．12种D．24种A【解析】第一步步，100m冠军有有4种可能能；第第二步步，800m冠军也也有4种可能能；第第三步步，1500m冠军有有4种可能能，根根据分分步计计数原原理，，共有有4×4×4＝43种可能能．故故选A.2．从6名志愿愿者中中选出出4名分别别从事事翻译译、导导游、、导购购、保保洁四四项不不同的的工作作，则则不同同的选选派方方案有有()A．180种B．360种C．15种D．30种B【解析】A64＝6×5×4×3＝360.3．某校校开设设A类选修修课3门，B类选修修课4门，一一位同同学从从中共共选3门，若若要求求两类类课程程中各各至少少选一一门，，则不不同选选法共共有()A．30种B．35种C．42种D．48种A【解析】从7门课程程中选选3门的总总数为为C73＝35种，其其中不不满足足条件件的选选法数数为C33＋C43＝5种，所所以满满足题题目条条件的的选法法数为为35－5＝30种，故故选A.4．将字字母a，a，b，b，c，c排成三三行两两列，，要求求每行行的字字母互互不相相同，，每列列的字字母也也互不不相同同，则则不同同的排排列方方法共共有()A．12种B．18种C．24种D．36种A【解析】利用分分步乘乘法计计数原原理求求解．．先排第第一列列，因因为每每列的的字母母互不不相同同，因因此共共有A33种不同同的排排法．．再排第第二列列，其其中第第二列列第一一行的的字母母共有有A21种不同同的排排法，，第二二列第第二、、三行行的字字母只只有1种排法法．因此共共有A33·A21·1＝12(种)不同的的排列列方法法．5．两人人进行行乒乓乓球比比赛，，先赢赢3局者获获胜，，决出出胜负负为止止，则则所有有可能能出现现的情情形(各人输赢赢局次的的不同视视为不同同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种C【解析】利用分类类讨论法法求解．．由题意知知比赛场场数至少少为3场，至多多为5场．当为3场时，情情况为甲甲或乙连连赢3场，共2种．当为4场时，若若甲赢，，则前3场中甲赢赢2场，最后后一场甲甲赢，共共有C32＝3种情况；；同理，，若乙赢赢也有3种情况．．共有6种情况．．当为5场时，前前4场甲、乙乙各赢2场，最后后1场胜出的的人赢，，共有2C42＝12种情况．．由上综合合知，共共有20种情况．．6．在某跳跳水运动动员的一一项跳水水实验中中，先后后要完成成5个不同的的动作，，其中动动作P只能出现现在第一一步或最最后一步步，动作作Q和R必须相邻邻，则动动作顺序序的编排排方法共共有____种．24【解析】P动作的排排法有A21种，捆绑绑动作R，Q的排法有有A22种，R，Q与余下两两个动作作有A33种排法，，故共有有编排方方法N＝A21A22A33＝24种．7．2名男生和和3名女生共共5名同学站站成一排排，若男男生甲不不站两端端，3名女生中中有且只只有两名名女生相相邻，则则不同排排法的种种数是____．48【解析】从3名女生中中任取2人“捆”在一起记记作A(A共有C32A22＝6种不同排排法)，剩下一一名女生生记作B，两名男男生分别别记作甲甲、乙．．为使男男生