广东省深圳市布心中学中考复习压轴题训练

广东省深圳市布心中学中考复习压轴题训练一．选择题（共8小题）1．如图，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3 D．r＝32．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣ B． C．2 D．+13．如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）．PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N．若⊙O的半径长为2，则MN的长（）A．随P点运动而变化，最大值为 B．等于 C．随P点运动而变化，最小值为 D．随P点运动而变化，没有最值4．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A． B． C． D．5．如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A． B． C． D．6．已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．π B． C．π D．27．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（）A．2π B．π C．3 D．48．正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2 B．1 C．4 D．二．填空题（共13小题）9．如图，已知线段AB＝8，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝2不变，连接BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连接BC、AC，则线段AC长的最大值是．10．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连接AC、BC，分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为．11．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是．12．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．13．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为．14．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为．15．已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为16．已知线段AB＝10，C．D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为．17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为．18．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为．19．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为．20．如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为．21．如图，P为边长为2的正方形ABCD的边BC上一动点，将线段DP绕P逆时针旋转90°得到线段PE（E为D的对应点），M为线段PE的中点，当点P从点C运动到点B的过程中，点M的运动路径长为三．解答题（共4小题）22．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直线AQ交y轴于点C（1）当a＝1时，①求点Q的坐标和直线AQ的解析式；②点m在直线AQ上，点N为平面直角坐标系内，x轴下方一点，当以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，求所有符合条件的点N的坐标，直接写出答案．（2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．①求点Q运动路线对应的解析式；②当AQ+BQ的值最小时求a的值，直接写出答案．23．如图①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x轴，OA＝2OB，AB＝5，反比例函数y＝（x＞0）经过点A．（1）k＝；（2）如图②，点P（x，y）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP＝2OQ，连接PQ，设点Q坐标为（m，n），求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．（3）在（2）的条件下，若点Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．24．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．25．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C．（1）如图1，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，求证：△A'CD是等边三角形．（2）若E为AC的中点，P为A'B'的中点，则EP的最大值是多少，这时旋转角θ为多少度．

2021年广东省深圳市布心中学中考复习压轴题训练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3 D．r＝3【解答】解：如图，连OI，PI，DI，∵△OPH的内心为I，∴∠IOP＝∠IOD，∠IPO＝∠IPH，∴∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OD，即∠PHO＝90°，∴∠PIO＝180°﹣（∠HOP+∠OPH）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，在△OPI和△ODI中，，∴△OPI≌△ODI（SAS），∴∠DIO＝∠PIO＝135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，∵∠DIO＝135°，∴∠DP′O＝180°﹣135°＝45°，∴∠DO′O＝90°，而OD＝6，∴OO′＝DO′＝3，∴r的值为3．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣ B． C．2 D．+1【解答】解：如图1，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′＝×2＝．由题意可知，∠ACB＝∠ABC＝∠AOD＝30°，∴∠ACB＝∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：＜OC≤+1．故选：A．3．如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）．PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N．若⊙O的半径长为2，则MN的长（）A．随P点运动而变化，最大值为 B．等于 C．随P点运动而变化，最小值为 D．随P点运动而变化，没有最值【解答】解：如图，当PM⊥CD于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥AB，延长PN交圆于点F，连接EF，根据垂径定理，MN＝EF，∵∠AOC＝120°，PM⊥CD，∴∠PMN＝30°，∠P＝60°，在Rt△PEF中，PE＝4，则EF＝2，∴MN＝，点P移动时，由题意，∠P＝60°，根据在同圆中，圆周角相等，所对的弧相等，弦也相等，即弦长为2，∴MN＝，故选：B．4．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A． B． C． D．【解答】解：连接AC，AG，∵GO⊥AB，∴O为AB的中点，即AO＝BO＝AB，∵G（0，1），即OG＝1，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO＝＝，∴AB＝2AO＝2，又CO＝CG+GO＝2+1＝3，∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝2，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴度数为60°，∵直径AC＝2，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长π．故选：B．5．如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．6．已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．π B． C．π D．2【解答】解：作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝CD＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝π．故选：A．7．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（）A．2π B．π C．3 D．4【解答】解：如图，连接AC．∵AOCB是正方形，∴∠AOC＝90°，∴∠AFC＝∠AOC＝45°，∵EF是直径，∴∠EAF＝90°，∴∠APF＝∠AFP＝45°，∴∠EPF＝135°，∴点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是，在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M＝180°﹣∠EPF＝45°，∴∠EKF＝2∠M＝90°，∵EF＝4，∴KE＝KF＝2，∴P运动的路径长＝＝π，故选：B．8．正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2 B．1 C．4 D．【解答】解：如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴当x＝2时，y有最大值1cm．易知点M的运动轨迹是O→M→O，CQ最大时，MO＝CQ＝，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM＝1，故选：B．二．填空题（共13小题）9．如图，已知线段AB＝8，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP＝2不变，连接BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连接BC、AC，则线段AC长的最大值是6．【解答】解：以BO为直角边在BO上方作等腰直角三角形BOF，如图，连接CF、AF．则＝，且∠OBP＝∠FBC，∴△OBP∽△FBC．∴＝，∵P点运动轨迹是以O为圆心，OP＝2为半径的圆，∴C点运动的轨迹是以F为圆心，CF＝2为半径的圆．∵AC≤AF+FC，AF＝4，FC＝2∴AC最大值为4+2＝6故答案为6．10．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连接AC、BC，分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为2．【解答】解：如图，连接OA、OB、AD．∵OA＝OB＝2，AM＝BM＝．，∴OM⊥AB，∠AOM＝∠BOM，∴sin∠AOM＝＝，∴∠AOM＝60°，∴∠AOB＝2∠AOM＝120°，∴∠C＝∠AOC＝60°，∵AB是⊙M的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，∵∠CDA＝90°，∠CAD＝30°，∴CD＝BC，∴欲求CD的最大值，只要求出⊙O的弦AC的最大值，∵⊙O的直径为4，∴弦AC的最大值为4，∴CD的最大值为2．故答案为2．11．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是5．【解答】解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，∵△APC和△BPD是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∴△AHB是等边三角形，∵∠A＝∠DPB＝60°，∴AH∥PD，∵∠B＝∠CPA＝60°，∴BH∥PC，∴四边形CPDH为平行四边形，∴CD与HP互相平分．∵G为CD的中点，∴G正好为PH中点，∵△ABH是等边三角形，∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：5．12．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【解答】解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．13．如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为1．【解答】解：连接OC，OM、CM，如图，∵M为PQ的中点，∴OM＝PQ，CM＝PQ，∴OM＝CM，∴点M在OC的垂直平分线上，∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，∴点M所经过的路线长＝AB＝1．故答案为1．14．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．15．已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为4【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BM∥PE，∴四边形PEMF为平行四边形，∴EF与MP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PM的中点，即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，∴G的运行轨迹为△MCD的中位线HI，∵HI＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，∴G点移动的路径长度为4．故答案为：416．已知线段AB＝10，C．D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为3．【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EPA＝60°，∴BM∥PE，∴四边形PEMF为平行四边形，∴EF与MP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PM的中点，即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，∴G的运行轨迹为△MCD的中位线HI，∵HI＝CD＝×（10﹣2﹣2）＝3，∴G点移动的路径长度为3．故答案为：3．17．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为9．【解答】解：如图所示：过点M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H．∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC．在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM（AAS）．∴MG＝MH．∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，∴∠F2＝∠EBF1．∵∠EF1B＝∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2．∴，即：，∴F1F2＝18，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2＝F1F2＝9．故答案为：9．18．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解答】解：连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．19．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为6．【解答】解：∵点A（﹣3，0），B（0，3），∴AB＝，∵C（﹣1，4），动点P在线段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，∴，P为主动点，M为从动点，C为定点，由“瓜豆原理”得P运动路径（AB）与M运动路径之比等于，∴点M运动的路径长为÷＝6，故答案为：6．20．如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为3﹣．【解答】解：如图1中，作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F，连接BM．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠MEB＝∠MFB＝90°，∴∠EMF＝∠PMQ＝120°，∴∠PME＝∠QMF，∵MP＝MQ，∴△MEP≌△MFQ（AAS），∴ME＝MF，∴BM平分∠ABC，∴点M的在射线BM上运动．如图2中，由题意，当PQ∥AC时，BM的值最大，最大值BM＝＝＝＝2，当P1Q1落在BC上时，得到BM1的值最小，最小值BM1＝＝＝1，设BM交AC于G，点M的运动路径是G→M→M1∴点M的运动路径的长＝MG+MM1＝BM﹣BG+BM﹣BM1＝2﹣+2﹣1＝3﹣．故答案为3﹣．21．如图，P为边长为2的正方形ABCD的边BC上一动点，将线段DP绕P逆时针旋转90°得到线段PE（E为D的对应点），M为线段PE的中点，当点P从点C运动到点B的过程中，点M的运动路径长为【解答】解：如图，当P与B重合时，点E在DA的延长线上，AE＝AD＝2，当点P与C重合时，点E与B重合，BE的中点M的运动轨迹为线段M1M2，易知M1M2＝EC＝•＝．理由：如下图，作EH⊥CB交CB的延长线于H，作M2K⊥CH于K．易证△EPH≌△DPC，∴EH＝PC，PH＝CD＝BC，∵EM2＝M2P，M2K∥EH，∴KH＝PK＝CM1，∴KM1＝PC，∴M2K＝EH＝PC＝KM1，∵tan∠M2M1K＝，tan∠DE′C＝tan∠E′CH＝，∴tan∠M2M1K＝tan∠E′CH，∴∠M2M1H＝∠E′CH，∴M1M2∥CE′，∴点M的运动轨迹是线段M1M2．故答案为．三．解答题（共4小题）22．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝90°，直线AQ交y轴于点C（1）当a＝1时，①求点Q的坐标和直线AQ的解析式；②点m在直线AQ上，点N为平面直角坐标系内，x轴下方一点，当以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，求所有符合条件的点N的坐标，直接写出答案．（2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．①求点Q运动路线对应的解析式；②当AQ+BQ的值最小时求a的值，直接写出答案．【解答】解：（1）①过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF＝∠PEO＝90°．∵∠APQ＝90°，∴∠EPA＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中，，∴△PEA≌△PFQ（AAS），∴PE＝PF，EA＝QF，∵a＝1，∴P（1，3）．∴OE＝BP＝1，PE＝3．∵A（2，0），∴OA＝2，∴EA＝1．∴PF＝3，QF＝1．∴点Q的坐标为（4，4）．设AQ的解析式为：y＝kx+b，则，解得：．则AQ的解析式为；y＝2x﹣4；②（﹣1，﹣2），（，﹣），（，）．（2）若点P的坐标为（a，3），则PF＝PE＝3，QF＝AE＝|2﹣a|．∴点Q的坐标为（a+3，5﹣a）．∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，5﹣a）都满足一次函数解析式y＝﹣x+8，∴点Q始终在直线y＝﹣x+8上运动．设直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．当x＝0时y＝8，当y＝0时x＝8．∴OM＝ON＝8．∵∠AOB＝90°，∴∠OMN＝45°．过点A关于直线MN作对称点A′，连A′Q、A′M，则A′Q＝AQ，A′M＝AM＝6，∠A′MN＝∠AMN＝45°．∴∠A′MA＝90°，AQ+BQ＝A′Q+BQ．根据两点之间线段最短可知：当A′、Q、B三点共线时，AQ+BQ＝A′Q+BQ最短，最小值为A′B长．设直线BP与A′M相交于点H，则BH⊥A′M．在Rt△A′HB＝90°，BH＝OM＝8，A′H＝A′M﹣MH＝6﹣3＝3，∴A′B＝＝＝，当A′、Q、B三点共线时，∵BN∥A′M，∴△BQN∽△A′QM．根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：＝＝，解得xQ＝，∴a+3＝，∴a＝，∴当a＝时，AQ+BQ的值最小为．故答案为：（4，4）、（，）．23．如图①，直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，AB平行于x轴，OA＝2OB，AB＝5，反比例函数y＝（x＞0）经过点A．（1）k＝8；（2）如图②，点P（x，y）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP＝2OQ，连接PQ，设点Q坐标为（m，n），求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．（3）在（2）的条件下，若点Q坐标为（m，1），求△POQ的面积．【解答】解：（1）设AB与y轴交于点C，如图所示，在Rt△AOB中，OA＝2OB＝2x，OB＝x，AB＝5，根据勾股定理得：x2+（2x）2＝52，解得：x＝，∴OA＝2，OB＝，∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OC，∴OC＝＝＝2，在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，∴A（4，2），把A坐标代入反比例解析式得：k＝8；故答案为：8；（2）分别过P，Q作PN⊥x轴，QM⊥x轴，∵∠QOM+∠OQM＝90°，∠QOM+∠PON＝90°，∴∠OQM＝∠PON，∵∠QMO＝∠PNO＝90°，∴△OQM∽△PON，∴＝＝＝，∵Q（m，n），∴OM＝﹣m，QM＝n，∴PN＝﹣2m，ON＝2n，即P（2n，﹣2m），把P坐标代入反比例解析式得：﹣4mn＝8，即﹣mn＝2，则n与m的函数解析式为n＝﹣（﹣2＜m＜﹣）；（3）根据题意及（2）得：n＝1，m＝﹣2，即Q（﹣2，1），P（2，4），∴QM＝1，PN＝4，OM＝2，ON＝2，即MN﹣2+2＝4，∴S△POQ＝S梯形PQMN﹣S△QOM﹣S△PON＝×4×（1+4）﹣×1×2﹣×2×4＝10﹣1﹣4＝5．24．如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【