诱导公式习题设计2

7.2.4第2课时诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧学习目标核心素养1.掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．(重点)2.能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．(重点、难点)1.通过诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2.通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.新知探究1.诱导公式⑤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.2.诱导公式⑥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα.3.诱导公式⑦sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.4．诱导公式⑧sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα.思考：各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？[提示]诱导公式可以归纳为k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是eq\f(π,2)的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．小试身手1.已知sin40°＝a，则cos130°＝()A．a B．－aC．eq\r(1－a2) D．－eq\r(1－a2)B[cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.]2.若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))>0，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))<0，则θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C[由于coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－sinθ>0，所以sinθ<0，又因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝cosθ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．]3.如果cos(π＋A)＝－eq\f(1,2)，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))等于()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)B[cos(π＋A)＝－cosA＝－eq\f(1,2)，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＝cosA＝eq\f(1,2).]利用诱导公式求值【例1】(1)已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，α为第一象限角，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值．(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))的值．[解](1)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(1,2)，∴cosα＝eq\f(1,2)，又α为第一象限角．则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2))＝－eq\f(\r(3),2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))·sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(1,3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－eq\f(1,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(1,9).这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α与eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.1.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))的值．[解]∵eq\f(π,6)＋α＋eq\f(π,3)－α＝eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)－α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3).利用诱导公式化简【例2】化简eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)－α)),sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)，其中k∈Z.[解]k为偶数时，设k＝2m(m∈Z原式＝eq\f(cos2mπ＋\f(π,2)－αsin2mπ－\f(π,2)－α,sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α)),sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinαcosα,－sinαcosα)＝1.k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z仿上化简得：原式＝1.故原式＝1.用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.2.已知f(α)＝eq\f(sin－αcosπ＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ－αsin2π＋αtanπ＋α).(1)化简f(α)；(2)若角α的终边在第二象限且sinα＝eq\f(3,5)，求f(α)．[解](1)f(α)＝eq\f(sin－αcosπ＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ－αsin2π＋αtanπ＋α)＝eq\f(－sinα－cosαsinα,－cosαsinαtanα)＝－cosα.(2)由题意知cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，∴f(α)＝－cosα＝eq\f(4,5).诱导公式的综合应用【例3】已知f(x)＝eq\f(sinπ－xcosπ＋xcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－x)),cos3π－xsinπ－xsin－π＋xsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))).(1)化简f(x)；(2)若x是第三象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)π))＝eq\f(1,5)，求f(x)的值；(3)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π)).[解](1)原式＝eq\f(sinx－cosxcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,2)－x)),cosπ－xsinxsin－π＋xsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)))＝eq\f(sinx－cosx\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)))),－cosxsinx－sinxcosx)＝eq\f(sinx－cosxsinx－sinx,－cosxsinx－sinxcosx)＝tanx.(2)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)π))＝－sinx，∴sinx＝－eq\f(1,5).∵x是第三象限角，∴cosx＝－eq\r(1－sin2x)＝－eq\f(2\r(6),5).∴f(x)＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(1,2\r(6))＝eq\f(\r(6),12).(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3)))＝－taneq\f(π,3)＝－eq\r(3).本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．3.已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．[解]方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2，由α是第三象限角，得sinα＝－eq\f(3,5)，则cosα＝－eq\f(4,5)，∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq\f(sin\b\lc\(