《事件之间的关系与运算》设计

5.3.2事件之间的关系与运算【教学目标】1.了解事件间的包含关系、相等关系及并事件与交事件的概念,会进行事件的运算.2．理解互斥事件与对立事件的概念与关系．3．会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．4．了解并事件与交事件的概念，会进行事件的运算.【教学重点】会用互斥事件与对立事件的概率公式求概率．【教学难点】理解互斥事件与对立事件的概念与关系．【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1．事件的关系与运算(1)事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，事件B一定发生，这时称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)A⊆B(或B⊇A)相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”A＝B⇔A⊆B且B⊆A事件互斥给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB＝∅(或A∩B＝∅)事件对立给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件.eq\o(A,\s\up12(－))(2)事件的和与积定义表示法图示事件的和(并)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)A＋B或(A∪B)事件的积(交)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)AB(或A∩B)(3)事件的混合运算因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算．(Aeq\o(B,\s\up12(－)))＋(eq\o(A,\s\up12(－))B)表示的是Aeq\o(B,\s\up12(－))与eq\o(A,\s\up12(－))B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(Aeq\o(B,\s\up12(－)))＋(eq\o(A,\s\up12(－))B)可简写为Aeq\o(B,\s\up12(－))＋eq\o(A,\s\up12(－))B.2．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：[0,1]．(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A与eq\o(A,\s\up12(－))为对立事件，则P(eq\o(A,\s\up12(－)))＝1－P(A)．P(A∪eq\o(A,\s\up12(－)))＝1，P(A∩eq\o(A,\s\up12(－)))＝0.小试牛刀1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有()A．A⊆BB．A⊇BC．A＝BD．A<BA[由事件的包含关系知A⊆B.]2．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则()A.A⊆BB．A⊇BC．A与B互斥D．A与B互为对立事件C[由互斥事件的定义知，A、B互斥．]3(2019·广西钦州市期末考试)抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是()A．至多抽到2件次品B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品D．至多抽到1件次品解析：选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个，所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个．故选D.4．某人打靶两次，事件A为只有一次中靶，事件B为两次都中靶，则A＋B________.解析：A＋B为并事件即至少有一次中靶．答案：至少有一次中靶例题讲解事件的运算例1.设A，B为两个事件，试用A，B表示下列各事件：（1）A，B两个事件中至少有一个发生；（2）A事件发生且B事件不发生；（3）A,B两个事件都不发生解：（1）按照定义有（2）因为B不发生可以表示为，因此可以写成（3）按照定义有方法总结事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．当堂练习1盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.⑵事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.互斥事件与对立事件的判定【例2】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[思路点拨][解](1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．方法总结互斥事件和对立事件的判定方法1利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响.2利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B.①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.当堂练习2判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．互斥、对立事件的概率加法公式例3.已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：（1）李明成绩不低于60分的概率；（2）李明成绩低于60分的概率。解：记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且：（1）因为“李明成绩不低于60分”可表示为，由A与B互斥可知（2）因为“李明成绩低于60分”可表示为，因此方法总结1．只有当A、B互斥时，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当A、B互为对立事件时，公式P(A)＝1－P(B)才成立．2．复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．当堂练习3某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率．解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.法二：“派出医生至