《共点力作用下物体的平衡》设计

《共点力作用下物体的平衡》教学设计一、教学要求：1、理解共点力作用下物体的平衡条件；2、熟悉解答平衡问题的常用方法（力的合成、力的分解、正交分解、矢量合成等）；3、能熟练运用“作图法”“解析法”等解决平衡问题的动态分析。二、教学重点：掌握解决平衡问题的解题步骤和常用方法。教学难点：动态平衡问题和极值问题。三、教学过程：一、知识概要的梳理1、平衡状态的理解：物体保持静止状态或匀速直线运动状态，物体就处于平衡状态。要理解物体的平衡状态，需注意以下几点：（1）不要将这里的“静止”与“速度为零”等同起来，因为“静止”不仅意味着“速度为零”，还意味着加速度为零；而“速度为零”的状态不一定是平衡态。（2）平衡状态可以有两种情况，一种是静止平衡，此时物体的速度v=0；另一种是动态平衡，此时物体的速度v≠0，加速度a=0。由此可知，只要物体的加速度为零，物体就处于平衡态，反之亦然，这是平衡态的基本物理特征。2、共点力平衡条件：在共点力作用下物体处于平衡状态的条件是合力为零，即。由共点力平衡条件可知：（1）物体受共点力作用平衡时，在任何方向上所受的合力均为零。（2）物体受几个共点力作用平衡时，其中任何一个力一定跟其他各个力的合力等值反向。因此，任何一个力都可称为其他各个力的合力的平衡力。3、解共点力平衡问题的步骤：（1）确定研究对象；（2）受力分析；（3）合成或分解；（4）列共点力平衡方程；（5）解方程和判断解的合理性。通常对于三力平衡问题一般采用合成的方法，得到一个力三角形，再解三角形（一般是特殊三角形，也有利用相似三角形对应边成比例的）。而对于多力（四力及以上）平衡问题一般采用正交分解的方法，即把各个力按相互垂直的两个方向分解，把平面力系的问题转化为两个共线力的平衡问题，分别列平衡方程求解。另外若各个力不在同一平面上即空间力系的平衡问题，则先把力分解为垂直某一平面和平行某一平面，垂直某一平面的合力必为零（即将空间力系的问题转化为了平面力系的问题），平行某一平面的力再用前面讲的合成或正交分解法。4、动态平衡问题动态平衡问题通过改变某些物理量（如物体受到的某个力），使物体发生缓慢变化，在这个缓慢变化过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。解决动态平衡问题的常用方法有解析法和图解法两种。通常我们用图解法进行处理。图解法一般程序为：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，并根据某一参量的变化（如某个角度的变化），在同一图中作出物体在若干状态下的平行四边形图，再由变化的边的长度来确定其他力的大小或方向的变化情况。二、典型例题的分析m1m1m2O例1、如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角α=60o．则两小球的质量之比m2/m1为【分析与解】：小球m2受重力m2g和细线的拉力FT作用处于平衡状态．由平衡条件得：FT=m2g．小球m1受细线拉力FT，碗对它的支持力FN和重力m1g三力作用处于平衡状态，受力分析如图所示．由几何关系知．FT=FN=m2g，m1处于平衡状态，故FN与FT的合力F=m1g.由即：2、复杂的平衡问题例2、如图所示，斜面体P放在水平面上，物体Q放在斜面上，Q受到一个力F的作用，P与Q都保持静止，这时Q受的摩擦力大小当f1，P受到水平面的摩擦力大小为f2。当力F变大但P、Q仍处于静止状态，试分析f1，f2是变大还是变小。 举此题为例的目的第一在于会使用正交分解法，建立直角坐标系，根据物体状态列出两轴方程。这种先明确研究对象，作受力分析，建立直角坐标系，再根据物体的状态与力的关系列成动力学方程的方法是解决力学问题的基本方法。 举此题为例的第二目的在于认识斜面对静止在斜面上的物体的静摩擦力的大小、方向要根据具体情况进行分析讨论。3、动态平衡例3、在倾角为θ的光滑斜面上放置质量为m的圆柱体，在力F的作用下处于静止状态，现使F从水平方向逆时针旋转，为使圆柱体始终保持静止力F将变化，当转过α角后，力F又恢复到原来大小，则α=_____。【分析与解】：取小球为研究对象，小球受到重力G，力F和斜面给小球的支持力N三个力作用，将F和N合成，得到合力R，由平衡条件知，R=G为一定值。由于N总垂直接触面（斜面），方向不变，则可作出如图所示的矢量图。由此可知当GFRNαθF力从水平方向逆时针旋转时，F力先变小后变大，当转过角度为1800-2（900GFRNαθ例4、如图所示。两个点电荷A和B各带相等的电量Q，质量都是m，A固定，B用长为l的丝线悬挂在A的正上方。当达到平衡时AB间距离为d。若要AB间距离减小到d/2，可以采用的办法是：(A)将B的电量减小到Q/8。

(B)将A的电量减小到Q/8。©将B的质量增大到8m。

(D)将A的质量增大到8m。【分析与解】本例如果直接利用物体的平衡条件列式求解，会使问题显得较为复杂，此时可以利用力的三角形和几何三角形相似进行求解。由力三角形和△ABO相似可得。当AB变为时，同理可得此时的平衡关系。。则且有.由此可迅速判断答案A、B、C都正确。ABOABONOBNABOABONOBNOARRR【分析与解】：取小球为研究对象，小球受到重力G和V形槽对它的两个弹力，两个弹力的方向同步发生变化，例5的相似比在本题中已无法凑效，而例3的图解法似乎无法使用，但我们如果能用相对变化的方法，可把两力的方向变化转化为一个力的方向变化。即如果将两个弹力的方向看成不变，则重力的方向沿逆时针方向旋转，设V形槽OA板对球的的弹力为NOA，OB板对球的的弹力为NOB两弹力的合力为R，则R与G等值反向，可作出如图的矢量图。由图可知NOA变小，NOB先变大后变小。根据牛顿第三定律板OB受到的压力将先变大后变小，板OA受到的压力将变小。GNGNfTxy （A）绳子的拉力不断增大 （B）船受的浮力不断减小（C）汽车须保持匀速前进 （D）汽车应作减速运动分析与解：以小船为研究对象，小船受到重力，水对船的浮力和阻力，以及绳子拉力，受力分析如图。因受力复杂，利用正交分解，建立坐标，列平衡方程来解决平衡问题。TsinTsinθ+F浮=GTcosθ=f因为在小船靠岸的过程中θ不断变大到趋于900，故cosθ不断变小，T变大；F浮不断变小，又因为小船匀速靠岸时，沿绳子方向的速度不断变小。故答案为：ABD4、极值问题例7、重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？【分析与解】：方法一：取物块为研究对象，在与水平面夹θ角斜向右上方的拉力F作用下，物块沿水平面向右做匀速直线运动，此时，物块的受力情况如图所示，建立起水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向的直角坐标系，沿两坐标轴方向列出平衡方程为Fcosθ－f=0Fsinθ+N－mg=0.考虑到动摩擦力f与正压力N间的关系，又有f=μN.由上述三个方程消去未知量N和f，将F表示为θ的函数，得F=μmg/（cosθ+μsinθ），对上述表达式作变换，又可表示为F=，其中tanα=μ.由此可知，当θ=arctanμ时，拉力F可取得最小值Fmin=μmg/.方法二：其实，此例题可用“图解法”分析求解：对物块做匀速直线运动时所受的四个力来说，重力mg的大小、方向均恒定；拉力F的大小和方向均未确定；由于支持力N与动摩擦力f的比值是确定的，做其合力R的大小未确定而方向是确定的（与竖直线夹α角），于是，把N与f合成为一个力R，物块所受的四个力即可等效地视为三个力R、mg和F，而这三个力的矢量关系可由图来表示。由图便很容易得出结论：当拉力F与水平面夹角为α=tg—1μ时，将取得最小值Fmin=mgsinα=TCTBTATCTBTAxyθβO【分析与解】：以结点O为研究对象，它受到三段绳子的拉力TA=m1g、TB=、TC=Mg，如图所示，利用正交分解可列出如下平衡方程：mm1gcosθ=m2gcosβm1gsinθ+m2gsinβ=Mg由方程可知当θ=β=900时M有极大值为6千克；当cosθ=1/2，cosβ=1时，M有极小值为2千克，故2千克<M<6千克mgFRR例9、物体A质量为m=2kg，用两根轻绳B、C连接到竖直墙上，在物体A上加一恒力F，若图中力F、轻绳AB与水平线夹角均为θ=60°mgFRR分析和解：由平衡条件可知力F与重力G的合力与两绳子的合力等值反向。设力F与重力G的合力为R，则可作出F、G、R三者的矢量图（b图），由图可以知道当力F与重力G的合力与AB拉力反向时即AC拉力为零，F有极小值F1；当力F与重力G的合力与AC拉力反向时即AB拉力为零，F有极大值F2。2F1Sinθ=mg若要AB拉力为零，如图所示，F2Sinθ=mg，所以有：点评：在研究平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值的现象称为极值问题。求解极值问题有两种方法：方法1：解析法。根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到数学知识有二次函数