【优化方案】高考数学总复习 第8章§8.6空间向量的概念及其运算精品课件 理 北师大

§8.6空间向量的概念及其运算

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.6空间向量的概念及其运算双基研习•面对高考1．空间向量的有关概念双基研习•面对高考基础梳理名称定义空间向量在空间里，具有________和_______的量叫作空间向量，其大小叫作向量的______或______．自由向量与向量的________无关的向量单位向量长度或模为____的向量(非零向量a的单位向量a0＝______)零向量长度为____的向量相等向量方向_______且模______的向量相反向量方向_______而______相等的向量大小方向长度模起点10相同相等相反模∠AOB〈a，b〉a⊥b平行重合共线向量平行向量a∥b直线l垂直于平行思考感悟如何由直线的方向向量求直线的斜率？2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是___________________.存在实数λ，使a＝λbxa＋yb1(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个_________的向量，a是空间任一向量，那么存在惟一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个________．3．空间向量的数量积及运算律(1)两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，即_______________叫作向量a，b的数量积，记作______，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．不共面基底|a||b|cos〈a，b〉a·b(2)空间间向向量量数数量量积积的的运运算算律律①结合合律律：：(λa)··b＝________；②交换律：：a·b＝b·a；③分配律：：a·(b＋c)＝____________.4．空间向向量的标标准正交交分解与与坐标表表示(1)在给定的的空间直直角坐标标系中，，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向向上的单单位向量量，对于于空间任任意向量量a，存在惟惟一一组组三元有有序实数数(x，y，z)，使得a＝______________．把__________________叫作a的标准正正交分解解，把__________叫作标准准正交基基．____________叫作空间间向量a的坐标，，记作a＝(x，y，z)．____________叫作向量量a的坐标表表示．λa·ba·b＋a·cxi＋yj＋zka＝xi＋yj＋zki，j，k(x，y，z)(x，y，z)(2)若b0为b的单位向向量，称称_____________________为向量a在向量b上的投影影．向量的坐坐标等于于它在坐坐标轴正正方向上上的投影影．5．空间向向量坐标标表示及及应用(1)数量积的的坐标运运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则__________________________.(2)共线与垂垂直的坐坐标表示示a·b0＝|a|cos〈a，b〉a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔________⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔___________⇔__________________(a，b均为非零零向量)．(3)模、夹角角和距离离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＝λba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0课前热身答案：DA．1B．2C．3D．4答案：B答案：B4．(教材习题题改编)已知a＝(－1，－3,2)，b＝(1,2,0)，若存在在c使a∥c且b·c＝5，则c＝________.考点探究•挑战高考考点突破考点一空间向量的线性运算用已知知向量量表示示未知知向量量，一一定要要结合合图形形，以以图形形为指指导是是解题题的关关键．．要正正确理理解向向量加加法、、减法法与数数乘运运算的的几何何意义义．首首尾相相接的的若干干向量量之和和，等等于由由起始始向量量的始始点指指向末末尾向向量的的终点点的向向量，，我们们可把把这个个法则则称为为向量量加法法的多多边形形法则则，在在立体体几何何中要要灵活活应用用三角角形法法则；；向量量加法法的平平行四四边形形法则则在空空间仍仍然成成立．．例1(2011年合肥肥调研研)对于任任何空空间四四边形形，试试证明明它的的一对对对边边中点点的连连线段段与另另一对对对边边平行行于同同一平平面．．【思路点点拨】要证线线段共共面，，只须须证明明相应应向量量共面面．【证明】如图所所示，，利用用多边边形加加法法法则可可得，，【名师点点评】注意向向量在在加减减法中中的方方向．．考点二空间向量的坐标运算例2如图所所示，，在正正四棱棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为为D1D、B1B上的点点，且且DE＝B1F＝1.(1)求证：：BE⊥平面面ACF；(2)求点E到平面面ACF的距离离．【思路点点拨】根据题题意，，建立立合理理的坐坐标系系，利利用向向量的的坐标标运算算解决决所求求问题题．【解】如图，，以D为原点点，DA、DC、DD1所在直直线分分别为为x、y、z轴建立立空间间直角角坐标标系，，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,5)，E(0,0,1)，F(2,2,4)．连结结AE.【名师点点评】在计算算和证证明立立体几几何问问题时时，若若能在在原图图中建建立适适当的的坐标标系，，把图图形中中的点点的坐坐标求求出来来，那那么图图形中中有关关问题题可用用向量量表示示，利利用空空间向向量的的坐标标运算算来求求解，，这样样可避避免较较为复复杂的的空间间想象象．考点三共面共线问题例3(2011年南昌调研研)已知E、F、G、H分别是空间间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，【思路点拨】利用共线定定理、共面面定理证明明．【名师点评】在求一个向向量由其他他向量来表表示的时候候，通常是是利用向量量的三角形形法则、平平行四边形形法则和共共线向量的的特点，把把要求的向向量逐步分分解，向已已知向量靠靠近，进行行求解．若若要证明两两直线平行行，只需判判定两直线线所在的向向量满足线线性a＝λb关系，即可可判定两直直线平行，，如第(1)(2)问即是如此此．方法感悟方法技巧1．建立了坐坐标系，向向量的线性性运算及数数量积就可可以用坐标标运算代替替，即几何何问题代数数化．(如例2)2．用空间三三个不共面面的向量组组{a，b，c}可以表示出出空间任意意一个向量量，而且a，b，c的系数是唯唯一的．(如课前热身身2)3．用向量数数量积的定定义及性质质可解决立立体几何中中求异面直直线所成的的角，求两两点间距离离或线段长长度以及证证明线线垂垂直，线面面垂直等典典型问题．．(如例2)4．熟练掌握握空间向量量的运算、、性质及基基本定理是是解决空间间向量问题题的基础，，特别是共共线向量定定理、共面面向量定理理、空间向向量基本定定理、数量量积的性质质等．(如例1、例3)失误防范1．利用坐标标运算解决决立体几何何问题，降降低了推理理难度，可可以避开一一些较复杂杂的线面关关系，但较较复杂的代代数运算也也容易导致致出错．因因此，在解解决问题时时，可以灵灵活的选用用解题方法法，不要生生搬硬套．．2．用空间向向量解决立立体几何中中的平行或或共线问题题一般用向向量共线定定理；求两两点间距离离或某一线线段的长度度，一般用用向量的模模来解决；；求异面直直线所成的的角，一般般可以转化化为两向量量的夹角，，但要注意意两种角的的范围不同同，最后应应进行转化化；解决垂垂直问题一一般可转化化为向量的的数量积为为零．3．空间向量量的加法、、减法经常常逆用，来来进行向量量的分解．．4．几何体中中向量问题题的解决，，选好基底底是关键．．考情分析考向瞭望•把脉高考从近几年的的高考来看看，空间向向量的数量量积及应用用在高考中中偶尔有所所体现，其其他知识体体现较少，，题型有选选择题、解解答题．解解答题中一一般考查学学生综合运运用知识解解决问题、、处理问题题的能力．．预测2012年高考仍将将以空间向向量的数量量积与解决决立体几何何问题为考考查点，考考查学生的的运算能力力，分析问问题、解决决问题的能能力．真题透析例【名师点评】(1)解决存在与与否类的探探索性问题题一般有两两个思路：：一是直接接去找存在在的点、线线、面或是是一些其他他的量；二二是首先假假设其存在在，然后通通过推理论论证或是计计算，如果果得出了一一个合理的的结果，就就说明其存存在；如果果得出了一一个矛盾的的结果，就就说明其不不存在．(2)利用向量线线性运算证证明立体几几何的相关关问题：①①要用向量量表示相关关的量；②②根据证明明的需要对对向量进行行运算，运运算可以结结合实际图图形，以图图形为指导导是解题的的关键；③③要注意利利用空间向向量解决立立体几何中中各种问题题的方法，，如证明线线线垂直，，可以证其其向量的数数量积为零零；如证明明四点共面面，可以证证从同一点点出发的三三个向量共共面；如求求线线夹角角，可以利利用其向