【优化方案】高考数学总复习 第9章§9.3直线与平面垂直、平面与平面垂直(A、B)精品课件 大纲人教

§9.3直线与平面垂直、平面与平面垂直(A、B)

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考9.3直线与平面垂直、平面与平面垂直(A、B)双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．直线和平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的______．垂面(2)判定定理和性质定理(3)三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的_____垂直，那么它也和这条斜线垂直．②三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条______垂直，那以它也和这条斜线的射影垂直．射影斜线2．平面和平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是_________，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面垂直的判定与性质直二面角1．一条直线垂直于平面内的无数条直线，这条直线与这个平面垂直吗？提示：不一定，可能平行(如图①)，可能在平面内(如图②)，也可能斜交(如图③)，也可能垂直．2．垂直于同一个平面的两个平面有什么关系？提示：平行或相交．1．下列说法中，正确的是(

)A．若线段相等，则它们的射影相等B．若射影相等，则斜线也相等C．在平面的垂线段和斜线段中，垂线段最短D．线段的长不小于它在平面内的射影长答案：D课前热身2．平面α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，点Q∈l，那么PQ⊥l是PQ⊥β的(

)A．充分不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C3．设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是(

)A．a⊥α，b∥β，α⊥β

B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β

D．a⊂α，b∥β，α⊥β答案：C4．P为△△ABC所在在平平面面外外一一点点，，且且PA、PB、PC两两两垂垂直直，，则则下下列列命命题题：：①PA⊥BC；②②PB⊥AC；③③PC⊥AB；④④AB⊥BC.其中中正正确确的的个个数数是是________．答案案：：35．(教材材例例5改编编)在△△ABC中，，∠∠ACB＝90°°，AB＝8，∠∠ABC＝60°°，PC⊥平平面面ABC，PC＝4，M是AB上一一个个动动点点，，则则PM的最最小小值值为为________．考点探究·挑战高考考点点突突破破考点一有关平面上的射影问题线面面垂垂直直是是构构成成射射影影的的必必要要条条件件，，应应正正确确认认识识直直棱长为1的正方体体ABCD－A1B1C1D1中，若E、G分别为C1D1、BB1的中点，，F是正方形形ADD1A1的中心，，则空间间四边形形BGEF在正方体体的六个个面内射射影的面面积的最最大值为为________．【思路分析析】分别找出出四边形形BGEF在各个面面上的射射影形状状，求其其面积．．例1【领悟归纳纳】作图形在在某面上上的射影影就是作作图形的的边界点点在平面面上的射射影．线面垂直直的判定定方法主主要是利利用判定定定理，，利用线线面垂直直的性质质可以证证明两线线垂直和和两线平平行，参参考教材材例2及练习第第2题．如图所示，直直角△ABC所在平面外一一点S，且SA＝SB＝SC，斜边AC的中点为D.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面SAC.考点二直线与平面垂直的判定与性质例2【思路分析】由等腰三角形形底边上的中中线得到线线线垂直，再利利用线面垂直直的判定定理理从而得到线线面垂直．【证明】(1)在等腰△SAC中，D为AC的中点，∴SD⊥AC，如图所示，取取AB中点E，连结DE、SE，∵ED∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又SE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SED.∴AB⊥SD，∴SD⊥平面ABC(AB、AC是面ABC内两相交直线线)．(2)∵BA＝BC，∴BD⊥AC，又∵SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD，∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.【思维总结】本题中反复抓抓住“线面垂垂直”与“线线线垂直”的的转化，借助助等腰三角形形最基本的性性质找垂直关关系．互动探究1在(2)中，AC⊥平面SDB吗？解：由(1)知SD⊥平面ABC⇒SD⊥AC，由(2)知BD⊥平面SAC⇒BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB.利用判定定理理证明面面垂垂直时，关键键在该面内找找到与另一平平面垂直的直直线．考点三有关面面垂直的判定和性质例3【思路分析】通过EF∥CD⇒EF⊥面ABC.【思维总结】本题是借用用平行关系系进行垂直直转化．互动探究2在本例中当当λ为何值时，，平面BEF⊥平面ACD.三垂垂线线定定理理是是证证明明线线线线垂垂直直的的主主要要方方法法．．首首先先须须有有线线面面垂垂直直(面的的垂垂线线)，才才能能有有射射影影，，为为了了找找面面的的垂垂线线，，又又须须用用面面面面垂垂直直的的性性质质，，即即有有以以下下关关系系：：考点四三垂线定理、逆定理及空间垂直如图图所所示示，，△△ADB和△△ADC都是是以以D为直直角角顶顶点点的的直直角角三三角角形形，，且且AD＝BD＝CD，∠∠BAC＝60°°.(1)求证证：：BD⊥平平面面ADC；(2)若H为△△ABC的垂垂心心．．求证证：：H是D在平平面面ABC内的的射射影影．．例4【思路路分分析析】(1)““射影影””与与““垂垂直直””相相连连，，““证证线线面面垂垂直直，，先先找找线线线线垂垂直直””；；(2)““垂心心””是是““高高线线””的的交交点点，，线线线线垂垂直直，，由由此此根根据据三三垂垂线线定定理理去去找找．．【证明明】(1)∵AD＝BD＝CD，∠∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD≌△ACD，AB＝AC.又∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，，∴AB＝BC.∴△ABD≌△BCD，∴△BDC为直角三角形形，∠BDC＝90°，BD⊥CD.又BD⊥AD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC.(2)如图所示，设设D在△ABC内的射影为H′，连结CH′并延长交AB于E，∵CD⊥AD，且CD⊥DB，∴CD⊥平面ADB，∴CD⊥AB，由三垂线定定理得CE⊥AB.同理，连BH′并延长交AC于F，得BF⊥AC.∴H′为△ABC的垂心，即D在平面ABC内射影为△ABC的垂心，∵H为△ABC的垂心，∴H′与H重合，得证．．【思维总结】三垂线定理及及逆定理可合合起来表述为为，设l是平面α的一条斜线，，l′是l在α内的射影，m是α内的一条直线线，则有m⊥l′⇔m⊥l.方法技巧1．细化空间垂垂直的判定(1)利用线面垂直直的定义：证证一条直线垂垂直于平面内内任意一条直直线，这时直直线垂直于该该平面．即a与α内任意一条直直线垂直⇒a⊥α.(2)利用线线面垂垂直的的判定定定理理：证证一直直线与与平面面内两两相交交直线线都垂垂直，，这条条直线线与平平面垂垂直．．即m，n⊂α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.方法感感悟(3)利用线线面垂垂直的的性质质：两两平行行线之之一垂垂直于于平面面，则则另一一条也也必垂垂直于于这个个平面面．即即a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(4)利用面面面垂垂直的的性质质定理理：两两平面面垂直直，在在一个个面内内垂直直于交交线的的直线线必垂垂直于于另一一平面面．即即α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(5)利用面面面平平行的的性质质：一一直线线垂直直于两两平行行平面面之一一，则则必垂垂直于于另一一平面面．即即a⊥α，α∥β⇒a⊥β.(6)利用面面面垂垂直性性质：：两相相交平平面同同时垂垂直于于第三三个平平面，，那么么两平平面交交线垂垂直于于第三三个平平面．．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ.2．面面垂直直的判定方方法(1)利用面面垂垂直的定义义，即证明明两平面所所成的二面面角为直角角．(2)利用两个平平面垂直的的判定定理理，证明一一个平面过过另一个平平面的一条条垂线．(3)若a∥α，a⊥β，则α⊥β.(4)若α∥β，β⊥γ，则α⊥γ.(5)若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1.3．关于三垂垂线定理及及其逆定理理(1)三垂线定理理及其逆定定理所论述述的是三个个垂直关系系：一是直直线与平面面垂直；二二是平面内内一条直线线与斜线的的射影(或斜线)垂直；三是是这条直线线与斜线(或射影)垂直．构成成定理的五五个元素是是“一面四四线”．运运用三垂线线定理及其其逆定理的的步骤是：：确定平面面→作出垂垂线→找到到斜线→连连成射影→→找面内线线，其关键键是确定平平面及平面面的垂线．．(2)三垂线定理理及其逆定定理主要用用于：①立体几何何的证明问问题．如线线线垂直，，线面垂直直，面面垂垂直．②二面角问问题，主要要是作二面面角的平面面角．③立体几何何的计算问问题．如求求空间一点点到平面内内某一直线线的距离，，求两平行行直线间的的距离，求求两条异面面直线所成成的角等．．1．依据直线线与平面垂垂直的判定定定理证明明线面垂直直的关键在在于寻找直直线与平面面内的两条条相交直线线垂直．如如例2.2．在应用三三垂线定理理及其逆定定理时，首首先应寻找找线面垂直直的条件，，然后再确确定线线垂垂直关系．．失误防范考向瞭望·把脉高考考情分析从近两年的的高考试题题来看，考考查的内容容有：(1)垂直关系的的判断和证证明；(2)以垂直关系系为载体去去解决空间间角和距离离的计算或或证明．一一般以选择择题和解答答题的形式式出现，其其中解答题题出现的频频率比较高高且难度中中等偏上．．着重考查查直线与平平面、平面面与平面垂垂直关系的的判定和性性质以及直直线与平面面、平面与与平面垂直直关系的相相互转化，，同时注意意三垂线定定理及其逆逆定理的应应用和垂直直关系的拓拓展和延伸伸．2010年的高考中中，各省市市考的立体体几何都涉涉及到了空空间垂直关关系，尤其其是涉及到到线面角的的计算时，，无不用到到空间垂直直关系的转转化，如大大纲全国卷卷Ⅰ理第7题，重庆文文第20题等．预测2012年高考仍将将以选择题题和解答题题的形式重重点考查线线面垂直和和面面垂直直的判定和和性质的理理解和灵活活运用，特特别是垂直直关系的证证明及利用用垂直关系系去解决空空间角和距距离的求解解问题．规范解答例【解】(1)证明：如图图，由PA⊥底面ABCD得PA⊥AB.又PA＝AB，故△PAB为等腰直直角三角角形．而而点E是棱PB的中点，，所以AE⊥PB.由题意知知BC⊥AB，又AB是PB在平面ABCD内的射影影，由三三垂线定定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE.又因为AE