【优化方案】高考数学总复习 第8章§8.5垂直关系精品课件 理 北师大

§8.5垂直关系

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.5垂直关系双基研习•面对高考1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的______一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．双基研习•面对高考基础梳理任何(2)定理：相交直线a∩b＝A垂直于一个平面b⊥α2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．(2)定理：直二面角垂线交线AB⊥αAB⊥MN思考感悟能否将直线与平面垂直定义中的“任何一条直线”改为“无数条直线”？能否将直线与平面垂直判定定理中的“相交”去掉？提示：不能，若平面内的直线互相平行，这些直线可能都与该直线垂直，但直线不一定与平面垂直．3．二面角二面角的定义从一条直线出发的______________所组成的图形叫作二面角．二面角的度量——二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.两个半平面垂直于课前热身1．设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是(

)A．a⊥α，b∥β，α⊥β

B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥β

D．aα，b∥β，α⊥β答案：C2.(教材习习题改改编)如图所所示，，在Rt△ABC中，∠B＝90°°，点P为△ABC所在平平面外外一点点，PA⊥平面ABC，则四四面体体PABC中有()个直角角三角角形．．A．1B．2C．3D．4答案：：D3．已知知α，β表示两两个不不同的的平面面，m为平面面α内的一一条直直线，，则“m⊥β”是“α⊥β”的()A．充分分不必必要条条件B．必要要不充充分条条件C．充要要条件件D．既不不充分分也不不必要要条件件答案：：A4．(2011年合肥肥调研研)m，n是空间间两条条不同同直线线，α，β是两个个不同同平面面，下下面有有四个个命题题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中，，为真真命题题的有有________(写出所所有真真命题题的编编号)．答案：：①④5．如图图所示示，已已知矩矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在在BC上只有有一个个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等等于________．答案：：2考点探究•挑战高考考点突破考点一垂直关系的基本应用此类问问题经经常以以选择择题的的形式式在高高考中中出现现，解解答时时一要要注意意依据据定理理条件件才能能得出出结论论，二二是否否定时时只需需举一一个反反例，，三要要会寻寻找恰恰当的的特殊殊模型型进行行筛选选．例1(2010年高考考浙江江卷)设l，m是两条条不同同的直直线，，α是一个个平面面，则则下列列命题题正确确的是是()A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m【思路点拨】根据线面垂垂直、平行行的判定和和性质判断断．【解析】根据定理：：两条平行行线中的一一条垂直于于一个平面面，另一条条也垂直于于这个平面面知，B正确．【答案】B【名师点评】一要注意定定理条件都都具备时才才能得出结结论，二要要会寻找恰恰当的特殊殊模型进行行筛选．变式训练1(2009年高考浙江江卷)设α，β是两个不同同的平面，，l是一条直线线，以下命命题正确的的是()A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：选C.对于A、B、D均可能出现现l∥β，故选C.考点二直线与平面垂直的判定与性质证明直线和和平面垂直直的常用方方法有：(1)利用判定定定理．(2)利用平行线线垂直于平平面的传递递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平平行的性质质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂垂直的性质质．当直线和平平面垂直时时，该直线线垂直于平平面内的任任一直线，，常用来证证明线线垂垂直．例2【思路点拨】利用线面垂垂直、线线线垂直的判判定与性质质可证．【证明】连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，CE⊥AC，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.又CF平面ACEF，所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.【名师点评】证明空间线线面位置关关系的基本本思想是转转化与化归归，根据线线面平行、、垂直关系系的判定和和性质，进进行相互转转化，如本本题是证明明线面垂直直，要通过过证明线线线垂直达到到证明线面面垂直的目目的．解决决这类问题题时要注意意推理严谨谨，使用定定理时找足足条件，书书写规范等等．考点三平面与平面垂直的判定和性质要证面面垂垂直，一般般要转化为为线面垂直直，即考虑虑证明一个个平面内的的一条直线线垂直于另另一个平面面，然后进进一步转化化为线线垂垂直，为此此要熟练掌掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互互转化关系系．特别地地，若已知知两个平面面垂直时，，一般要用用性质定理理，将其转转化为线面面垂直进行行应用．例3【思路点拨】(1)利用面面垂垂直的判定定定理．(2)【误区警示】在(2)中，误认为为PD为四棱锥的的高，导致致体积求错错，产生这这一错误的的原因是空空间想象能能力不强，，思维定势势，没有从从题目条件件出发．考点四二面角的求法有许多涉及求角与距离的问题可直接利用

来研究，并在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方法．对于求二面角通常是求其平面角的大小，而二面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂线呈现法等等．例4【思路点拨拨】(1)由AF∥ED可得∠CED为异面直直线CE与AF所成角．．由Rt△CED中的边角角关系可可求其大大小；(2)利用线面面垂直的的判定定定理可证证；(3)利用“垂线法”，即在平平面ABCD内作AD的垂线，，过垂足足作棱EF的垂线，，连结可可得二面面角的平平面角．．【规律小结结】确定二面面角平面面角的方方法：(1)定义法：：在二面面角的棱棱上找一一特殊点点，在两两个半平平面内分分别作垂垂直于棱棱的射线线．(2)垂面法：：过棱上上一点作作与棱垂垂直的平平面，该该平面与与二面角角的两个个半平面面产生交交线，这这两条交交线所成成的角，，即为二二面角的的平面角角．(3)垂线法：：过二面面角的一一个面内内一点作作另一个个平面的的垂线，，过垂足足作棱的的垂线，，利用线线面垂直直可找到到二面角角的平面面角或其其补角，，此种方方法通用用于求二二面角的的所有题题目，具具体步骤骤为：一一找，二二证，三三求．方法感悟方法技巧巧1．在解决决直线与与平面垂垂直问题题过程中中，要注注意直线线与平面面垂直的的定义，，判定定定理和性性质定理理的联合合交替使使用，即即注意线线线垂直直和线面面垂直的的互相转转化．(如例2)2．面面垂垂直的性性质定理理是作辅辅助线的的一个重重要依据据．我们们要作一一个平面面的一条条垂线，，通常是是先找这这个平面面的一个个垂面，，在这个个垂面中中，作交交线的垂垂线即可可．(如例3)3．(1)对于二面面角问题题多数情情况下要要作出二二面角的的平面角角并加以以论证和和计算，，同时要要注意二二面角平平面角所所在的平平面与二二面角的的棱及两两个面都都是互相相垂直的的．(2)二面角平平面角的的作法大大致可根根据定义义作；可可用垂直直于二面面角棱的的平面去去截二面面角，此此平面与与二面角角的两个个半平面面的交线线所成的的角即为为二面角角的平面面角；也也可首先先确定二二面角一一个面的的垂线，，由三垂垂线定理理和三垂垂线定理理的逆定定理，作作出二面面角的平平面角，，对于这这种方法法应引起起足够的的重视．．(3)对于直线线和平面面所成的的角及二二面角大大小的计计算都与与平面的的垂线有有关，平平面的垂垂线是立立体几何何中最重重要的辅辅助线之之一，而而平面与与平面垂垂直的性性质定理理也是最最重要的的作图理理论依据据．(如例3)失误防范范1．直线和和平面垂垂直(1)判定定理理可以简简单地记记为“线线垂直直⇒线面面垂直”，定理中中的关键键词语是是“平面内两两条相交交直线”和“都垂直”．证题时时常常是是定义和和判定定定理反复复使用，，使线线线垂直与与线面垂垂直的关关系相互互转化．．(2)直线和平平面垂直直的性质质定理可可以作为为两条直直线平行行的判定定定理，，可以并并入平行行推导链链中，实实现平行行与垂直直的相互互转化，，即线⊥⊥线⇒线线⊥面⇒⇒线∥线线⇒线∥∥面．2．垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．考情分析考向瞭望•把脉高考垂直关系系是每年年高考必必考的知知识点之之一，考考查重点点是线面面垂直的的判定与与性质，，面面垂垂直的判判定与性性质，以以及线面面角、二二面角的的求法．．题型既既有选择择题、填填空题，，又有解解答题，，难度中中等偏高高，客观观题突出出“小而巧”，主要考考查垂直直的判定定及性质质，考查查线面角角、二面面角的求求法，主主观题考考查较全全面，在在考查上上述知识识的同时时，还注注重考查查空间想想象能力力、逻辑辑推理能能力以及及分析问问题、解解决问题题的能力力．预测2012年高考仍将以以线面垂直、、面面垂直、、线面角、二二面角为主要要考点，重点点考查学生的的空间想象能能力以及逻辑辑推理能力．．真题透析例所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.4分(2)证明：因为DC＝DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE.连接MP，则MP⊥CE.又MP∩DM＝M，故CE⊥平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.7分(3)设Q为CD的中点，连接PQ，EQ.因为CE＝DE，所以EQ⊥CD.因为PC＝PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A-CD-E的平面角.10分【名师点评】(1)本题的图形既既可以看做是是从长方体中中截取的一个个图形，也可可以看做是一一个直三棱柱柱和一个三棱棱锥组合起来来的图形，无无论是截取的的图形还是组组合的图形，，都是教材上上最基本的空空间图形，可可以说本题是是对教材基本本图形进行改改造加工，把把教材上不同同部分的主要要问题组合起起来命制的一一道试题．(2)解决立体几何何问题的一个个很重要的技技巧就是“割补”，这个技巧不不但在求空间间几何体体积积时有用，在在解决其他问问题时仍然有有重要作用，，如本题把图图形放到一个个长方体中，，就会发现这这个长方体实实际上又是由由两个正方体体拼接而成，，放到这个长长方体中去看看，所有要解解决的问题几几乎都是明显显的结论．(3)证明面面垂直直常用的