【优化方案】高考数学总复习 第8章§8.3空间图形的基本关系及公理精品课件 理 北师大

§8.3空间图形的基本关系及公理

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§8.3空间图形的基本关系及公理双基研习•面对高考1．空间图形的基本关系(1)点和直线的位置有两种：__________和点在直线外．(2)点和平面的位置有两种：点在平面内和____________．(3)空间两条直线的位置关系有三种：_________、相交直线和____________．双基研习•面对高考基础梳理点在直线上点在平面外异面直线平行直线(4)空间直线和平面的位置关系有三种：__________________、直线和平面相交、_______________．(5)空间两平面的位置关系有两种：_____________________________．

直线在平面内直线与平面平行两平面平行和两平面相交提示：不一定，可能存在平面γ，使aγ，bγ.思考感悟若aα，bβ，则a，b就一定是异面直线吗？2．空间图形的公理及等角定理两点所有的点在平面内有且只有A、B、C三点确定有且只有α∩β＝l，且A∈l有一个公共点平行a∥cB′O′3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的___________就是异面直线a，b所成的角．如果两条异面直线所成的角是_______，则称这两条直线互相垂直．锐角或直角直角课前热身1．(教材习题改编)如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是(

)A．平行B．垂直C．相交成60°D．异面成60°答案：D2．若三三个平平面两两两相相交，，且三三条交交线相相交于于一点点，则则这三三个平平面把把空间间分成成()部分．．A．5B．6C．7D．8答案：：D3．下列列四个个命题题中，，正确确命题题的个个数是是()①空间不不同三三点确确定一一个平平面；；②垂直于于同一一直线线的两两直线线平行行；③一条直直线和和两平平行线线中的的一条条相交交，也也必和和另一一条相相交；；④两组对边相相等的四边边形是平行行四边形．．A．0B．1C．2D．3答案：A4．(2010年西安调研研)已知a、b是异面直线线，下列命命题：①存在一个平平面α，使a∥α，且b∥α；②存在一个平平面α，使a⊥α且b⊥α；③存在一个平平面α，使a⊂α，且b与α相交；④存在一个平平面α，使a，b到平面α的距离相等等．其中正确命命题是________．答案：①③④5．如图所示示，在正方方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1与C1B所成的角是是________．考点探究•挑战高考考点突破考点一共面问题证明若干条条线(或若干个点点)共面，一般般来说有两两种途径：：一是首先先由题给条条件中的部部分线(或点)确定一个平平面，然后后再证明其其余的线(或点)均在这个平平面内；二二是将所有有元素分为为几个部分分，然后分分别确定几几个平面，，再证这些些平面重合合．例1【易错警示】本题易错点点是不能把把证明C、D、F、E共面转化为为C、H、F、E共面，在分分析题意时时，应仔细细分析问题题中每一句句话的含义义．考点二三点共线与三线共点问题利用两平面面交线的惟惟一性，证证明诸点在在两平面的的交线上是是证明空间间诸点共线线的常用方方法．证明明点共线的的方法从另另一个角度度讲也就是是证明三线线共点的方方法．证明线共点点，基本方方法是先确确定两条直直线的交点点，再证交交点在第三三条直线上上，也可将将直线归结结为两平面面的交线，，交点归结结为两平面面的公共点点，由公理理2证明点在直直线上．例2【思路点拨】(1)先证E，F，G，H四点共面，，再证EF，GH交于一点，，然后证明明这一点在在AC上．(2)画出图形，，模仿(1)进行证明．．∴EF∥HG，且且EF>HG.所以以四四边边形形EFGH为梯梯形形．．设EH与FG交于于点点P，则P∈平平面面ABD，P∈平平面面BCD，所以以P在两两平平面面的的交交线线BD上，，所以以EH、FG、BD三线线共共点点．．【易错错警警示示】证明明线线共共点点时时，，两两条条直直线线相相交交可可能能缺缺乏乏理理论论依依据据．．变式式训训练练1如图图所所示示，，O1是正正方方体体ABCD－A1B1C1D1的上上底底面面A1B1C1D1的中中心心，，M是对对角角线线A1C和截截面面B1D1A的交交点点．．求证证：：O1、M、A三点点共共线线．．证明：∵A1C1∩B1D1＝O1.又B1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C.∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线．考点三异面直线所成的角与异异面面直直线线相相交交的的问问题题有有异异面面直直线线的的判判定定，，异异面面直直线线所所成成的的角角，，异异面面直直线线的的公公垂垂线线及及异异面面直直线线间间的的距距离离，，这这其其中中最最重重要要的的是是异异面面直直线线所所成成的的角角．．求求异异面面直直线线所所成成的的角角，，一一般般是是通通过过平平行行线线首首先先找找到到它它们们所所成成的的角角，，然然后后放放到到三三角角形形中中，，通通过过解解三三角角形形求求之之．．对于于异异面面直直线线所所成成的的角角也也可可利利用用空空间间向向量量来来求求．．例3(2010年高高考考湖湖南南卷卷改改编编)如图图所所示示，，在在长长方方体体ABCD-A1B1C1D1中，，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱棱CC1的中中点点．．求求异异面面直直线线A1M和C1D1所成成的的角角的的正正切切值值．．【思路点拨】【名师师点点评评】求异异面面直直线线所所成成的的角角无无论论是是用用几几何何法法还还是是向向量量法法，，都都要要特特别别注注意意异异面面直直线线所所成成角角的的范范围围是是(0°，90°]．变式训练2(2010年高考大纲全全国卷Ⅰ)正三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线线BA1与AC1所成的角等于于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直直角坐标系如如图所示，则则B(0，－1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(－1,0,1)方法感悟方法技巧1．主要题型的的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直直线或点确定定一个平面，，再证其余直直线或点也在在这个平面内内(即“纳入法”)．(如例1)(2)要证明“点共线”可将线看作两两个平面的交交线，只要证证明这些点都都是这两个平平面的公共点点，根据公理理3可知这些点在在交线上，因因此共线．(如例2)2．判定空间两两条直线是异异面直线的方方法(1)判定定理：平平面外一点A与平面内一点点B的连线和平面面内不经过该该点B的直线是异面面直线．(2)反证法：证明明两线不可能能平行、相交交或证明两线线不可能共面面，从而可得得两线异面．．3．求两条异面面直线夹角的的大小，一般般方法是通过过平行移动直直线，把异面面问题转化为为共面问题来来解决．根据据空间等角定定理及推论可可知，异面直直线夹角的大大小与顶点位位置无关，往往往将角的顶顶点取在其中中的一条直线线上，特别地地，可以取其其中一条直线线与另一条直直线所在平面面的交点或异异面线段的端端点．总之，，顶点的选择择要与已知量量有关，以便便于计算，具具体步骤如下下：(1)利用定定义构构造角角，可可固定定一条条，平平移另另一条条，或或两条条同时时平移移到某某个特特殊的的位置置，顶顶点选选在特特殊的的位置置上；；(2)证明作作出的的角即即为所所求角角；(3)利用三三角形形来求求解．．(如例3)失误防防范1．异面面直线线是不不同在在任何何一个个平面面内的的两条条直线线，而而不是是分别别在两两个平平面内内．一一定要要理解解定义义．2．求异异面直直线所所成的的角要要特别别注意意异面面直线线所成成角的的范围围是(0°°，90°°]．考情分析考向瞭望•把脉高考空间中中的位位置关关系是是每年年高考考必考考的知知识点点之一一，考考查重重点是是异面面直线线的判判定，，异面面直线线所成成的角角．题题型既既有选选择题题、填填空题题，又又有解解答题题，难难度为为中低低档；；客观观题主主要考考查异异面直直线所所成角角的概概念及及求法法，主主观题题考查查较全全面，，考查查异面面直线线所成成角的的概念念、求求法、、判定定及异异面直直线的的判定定，同同时还还考查查了学学生的的空间间想象象能力力和运运算能能力．．预测2012年高考考仍将将以考考查异异面直直线所所成的的角为为主要要考查查点，，重点点考查查学生生的空空间想想象真题透析例(2009年高高考考安安徽徽卷卷)对于于四四面面体体ABCD，下下列列命命题题正正确确的的是是________(写出出所所有有正正确确命命题题的的编编号号)．①相对对棱棱AB与CD所在在的的直直线线异异面面；；②由顶顶点点A作四四面面体体的的高高，，其其垂垂足足是是△BCD三条条高高线线的的交交点点；；③若分分别别作作△ABC和△ABD的边边AB上的的高高，，则则这这两两条条高高所所在在的的直直线线异异面面；；④分别别作作三三组组相相对对棱棱中中点点的的连连线线，，所所得得的的三三条条线线段段相相交交于于一一点点；；⑤最长长棱棱必必有有某某个个端端点点，，由由它它引引出出的的另另两两条条棱棱长长度度之之和和大大于于最最长长棱棱．．【思路路点点拨拨】画出出图图形形，，根根据据各各个个命命题题寻寻找找其其成成立立的的根根据据，，或或者者寻寻找找其其不不成成立立的的反反例例．．【解析】命题①中，如果AB，CD共面，则四点A，B，C，D共面，ABCD为平面图形，与ABCD是四面体矛盾，故命题①正确；命题题②中，，如如果果命命题题成成立立，，即即顶顶点点A在底底面面BCD上的的射射影影为为底底面面三三角角形形的的垂垂心心，，如如图图(1)所示，则则CD⊥AH，CD⊥BE，根据线线面垂直直的判定定定理，，知CD⊥平面ABH，故CD⊥AB，同理可可以证明明AD⊥BC，AC⊥BD，但这些些条件在在题目的的已知中中是不具具备的，，故命题题②不一定成成立，即即命题不不正确；；命题③中，如图图(2)所示，当当△ABC，△ABD的AB边上的高高的垂足足为同一一个点时时，命题题不成立立，这种种情况是是完全可可能的，命题④中，如图图(3)所示，E，F，G，H，I，J分别为BC，AD，CD，AB，AC，BD的中点，，连接各各中点，，容易证证明四边边形EHFG为平行四四边形，，故HG，EF相交于一一点，且且该点平平分两线线段，即即交点为为线段HG的中点，，设为O；同理可可以证明明HG，IJ也相交于于一点，，且在该该点互相相平分，，即线段段IJ也过线段段HG的中点O，故三组组对棱中中点的连连线交于于一点，，故命题题④正确；命题⑤中，如图图(2)所示，设设最长棱棱为AC，假设结结论不成成立，即即不存在在端点，，则由它它引出的的另两条条棱的长长度之和和大于最最长棱，，即从两两个端点点A，C引出的两两条棱的的长度之之和均不不大于AC，即AB＋AD≤AC，CB＋CD≤AC，两个不不等式相相加，得得AB＋AD＋CB＋CD≤2AC，即(AB＋CB)＋(AD＋CD)≤2AC.在△ABC，△ADC中AB＋CB>AC，AD＋CD>AB，两式相相加得(AB＋CB)＋(AD＋CD)>2AC，得出矛矛盾结论论，说明明假设不不成立，，故命题题⑤正确．故故填①④⑤.【答案】①④⑤【名师点评评】立体几何何中很多多命题往往往是用用反证法法证明，，如本题题中的命命题①、⑤.这类命题题的特点点是没有有可以直直接利用用的定理理，直接接证明非非常困难难，遇到到这种情情况往往往使用反反证法解解决．证证明空间间三线交交于一点点(这样的问问题我们们称之为为三线共共点)，基本思思路是先先证明两两条直线线交于一一点(这只要证证明这两两条直线线共面且且不平行行)，再证明明第三条条直线也也过这个个点即可可．1．在四棱棱台ABCD-A1B1C1D1中，上下下底面均均为正方方形，则则DD1与BB1所在直线线是()A．相交直直线B．平行直直线C．不垂直直的异