【优化方案】高考数学总复习 第4章§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示精品课件 理 北师大

§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_________一对实数λ1，λ2，使a＝____________.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组________．不平行存在唯一基底λ1e1＋λ2e2(2)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对_______叫作向量a的坐标，记作a＝________，其中___叫作a在x轴上的坐标，__叫作a在y轴上的坐标．(x，y)(x，y)yx(x，y)点A2．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘的运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)该向量终点的坐标减去始点的坐标λbx1y2－x2y1＝0提示：不能，因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2－x2y1＝0.

思考感悟1．(2009年高考广东卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(

)A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C.∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．课前热身2．(2009年高考重庆卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是(

)A．－2

B．0C．1 D．2答案：D答案：C答案：－2或11考点探究•挑战高考考点突破考点一平面向量基本定理及其应用利用平面向量量基本定理表表示向量时，，要选择一组组恰当的基底底来表示其他他向量，即用用特殊向量表表示一般向量量．例1【答案】x≤0且0≤x＋y≤1【规律小结】用已知向量来来表示另外一一些向量是用用向量解题的的基本功，除除利用向量的的加减法、数数乘运算外，，还应充分利利用平面几何何的一些定理理，因此在求求向量时要尽尽可能转化到到平行四边形形或三角形中中，选用从同同一顶点出发发的基本向量量或首尾相连连的向量，运运用向量加减减法运算及数数乘运算来求求解，即充分分利用相等向向量、相反向向量和线段的的比例关系，，运用加法的的三角形法则则、平行四边边形法则、减减法的三角形形法则、三角角形中位线定定理、相似三三角形对应边边成比例等平平面几何的性性质，把已知知向量转化为为与未知向量量有直接关系系的向量来求求解．变式训练1利用向量的坐坐标运算解题题，主要就是是根据相等的的向量坐标相相同这一原则则，通过列方方程(组)进行求解．在在将向量用坐坐标表示时，，要分清向量量的起点和终终点坐标，也也就是要注意意向量的方向向，不要写错错坐标．考点二向量的坐标运算例2【思路点拨】建立直角坐标标系，利用向向量的坐标运运算解答．【答案】2【思维总结】向量的坐标运运算主要是利利用加、减、、数乘运算法法则进行．若若已知有向线线段两端点的的坐标，则应应先求出向量量的坐标，解解题过程中要要注意方程思思想的运用及及正确使用运运算法则．1．凡遇到与平平行有关的问问题时，一般般要考虑运用用向量平行的的充要条件．．2．向量共线的的坐标表示提提供了通过代代数运算来解解决向量共线线的方法，也也为点共线、、线平行问题题的处理提供供了容易操作作的方法．解解题时要注意意共线向量定定理的坐标表表示本身具有有公式特征，，应学会利用用这一点来构构造函数和方方程，以便用用函数与方程程的思想解题题．考点三向量共线(平行)的坐标表示(2010年高考考陕西西卷)已知向向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.【思路点点拨】由向量量平行行的充充要条条件列列出关关于m的方程程，然然后求求解．．【解析】∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴1×2－(－1)··(m－1)＝0，∴m＝－1.例3【答案】m＝－1【误区警警示】解答本本题过过程中中，易易将方方程列列成(－1)××1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出错错，导导致此此种错错误的的原因因是：：没有有准确确记忆忆两个个向量量平行行的充充要条条件，，将其其与向向量垂垂直的的条件件混淆淆．向量的的坐标标运算算常在在三角角函数数、解解析几几何等等知识识交汇汇点处处命题题，解解答这这类问问题的的关键键是认认真领领会题题中所所给信信息，，并将将所得得的信信息应应用于于题目目中去去，以以解决决实际际问题题．考点四向量的综合问题已知向向量u＝(x，y)与向量量v＝(y,2y－x)的对应应关系系用v＝f(u)表示．．(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向向量f(a)与f(b)的坐标标；(2)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数数)的向量量c的坐标标；(3)证明：：对任任意的的向量量a、b及常数数m、n，恒有有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．．例4【思路点点拨】本题关关键是是找出出“函数”v＝f(u)的对应应关系系，此此处的的变量量为向向量的的坐标标，因因此，，可通通过坐坐标运运算来来解决决问题题．【解】(1)∵a＝(1,1)，∴f(a)＝(1,2××1－1)＝(1,1)．又∵b＝(1,0)，∴f(b)＝(0,2××0－1)＝(0，－1)．(3)证明：：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立立．．方法法技技巧巧1．用用向向量量解解答答几几何何问问题题的的一一般般思思路路是是：：选选择择一一组组基基底底，，运运用用平平面面向向量量基基本本定定理理将将条条件件和和结结论论表表示示成成向向量量形形式式，，再再通通过过向向量量的的运运算算来来解解答答．．(如例例1)2．向向量量的的坐坐标标运运算算，，使使得得向向量量的的线线性性运运算算都都可可用用坐坐标标来来进进行行，，实实现现了了向向量量运运算算完完全全代代数数化化，，将将数数与与形形紧紧密密结结合合起起来来，，就就可可以以使使很很多多几几何何问问题题的的解解答答转转化化为为我我们们熟熟知知的的数数量量运运算算．．(如例例2)方法法感感悟悟3．两两个个向向量量共共线线的的充充要要条条件件在在解解题题中中具具有有重重要要的的应应用用，，一一般般地地，，如如果果已已知知两两向向量量共共线线，，求求某某些些参参数数的的值值，，则则利利用用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),则a∥b的充充要要条条件件是是x1y2－x2y1＝0””比较较简简捷捷．．(如例例3)4．对对于于向向量量坐坐标标的的综综合合应应用用，，关关键键是是利利用用已已知知条条件件转转化化为为方方程程或或函函数数关关系系式式解解决决．．(如例例4)1．数数学学上上的的向向量量是是自自由由向向量量，，向向量量a＝(x，y)经过过平平移移后后得得到到的的向向量量的的坐坐标标仍仍是是(x，y)．2．若若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则则a∥b(b≠0)的充充要要条条件件是是a＝λb，这这与与x1y2－x2y1＝0在本本质质上上是是没没有有差差异异的的，，只只是是形形式式上上不不同同．．失误误防防范范考情分析考向瞭望•把脉高考向量量的的坐坐标标运运算算和和向向量量共共线线的的坐坐标标表表示示是是高高考考的的热热点点，，题题型型既既有有选选择择题题、、填填空空题题，，又又涉涉及及到到解解答答题题，，属属于于中中低低档档题题目目，，常常与与向向量量数数量量积积运运算算交交汇汇命命题题，，主主要要考考查查向向量量的的坐坐标标运运算算及及向向量量共共线线条条件件的的应应用用．．同同时时又又注注重重对对函函数数与与方方程程、、化化归归与与转转化化等等思思想想方方法法的的考考查查．．预测2012年高考仍仍将以向向量的坐坐标运算算、向量量共线的的坐标表表示为主主要考点点，重点点考查运运算能力力与应用用能力．．(2009年高考广广东卷)若平面向向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.【思路点拨拨】利用a＋b平行于x轴，设出出a＋b的坐标．．利用向向量的坐坐标运算算并分类类讨论．．命题探源源例【解析】∵a＋b平行于于x轴，故故可设设a＋b＝(m,0)，由|a＋b|＝1⇒m2＝1，故m＝±1.当m＝1时，a＝(1,0)－b＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)；当m＝－1时，a＝(－1,0)－b＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．∴a＝(－1,1)或(－3,1)．【答案】(－1,1)或(－3,1)【名师点点评】(1)本题易易失误误的是是：①模的坐坐标运运算不不知，，不能能将模模的关关系转转化为为坐标标关系系；②不理解解向量量与x轴平行行的含含义．．(2)在解决决向量量问题题时，，如果果没有有向量量的坐坐标形形式，，可以以引入入坐标标使抽抽象问问题具具体化化．其其实，，向量量的坐坐标运运算是是一种种把其其他运运算转转化为为纯数数字运运算的的有效效途径径，尤尤其是是碰到到几何何问题题时(一些涉涉及几几何图图形的的向量量试题题，由由于几几何性性质不不能直直接应应用而而使问问题变变得复复杂难难求，，如果能能建立立适当当的坐坐标系系，用用代数数式表表示图图形的的性质质，即即图形形数字字化，，以“数”解“形”，可使使解题题思路路清晰晰，便便于问问题顺顺利解解决)．实际际上，，利用用向量量的坐坐标运运算解解题，，主要要就是是根据据相等等的向向量坐坐标相相同这这一原原则，，通过过列方方程(组)进行求求解；；在将将向量量用坐坐标表表示时时，要要看准准向量量的起起点和和终点点，也也就是是要注注意向向量的的方向向．名师预预测2