【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.4函数的奇偶性与周期性精品课件 理 北师大

§2.4函数的奇偶性与周期性

考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§2.4函数的奇偶性与周期性双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．函数的奇偶性定义f(－x)与f(x)的关系奇函数一般地，图像关于_______对称的函数叫作奇函数.__________________偶函数一般地，图像关于_______对称的函数叫作偶函数.__________________原点y轴f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)思考感悟奇偶函数的定义域有何特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：由于定义中对任意一个x都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的－x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称．它是函数具有奇偶性的必要条件．2．函数的奇偶性与单调性的关系奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性__________3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝________，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期．相反．f(x)相同(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_____________正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．存在一个最小课前热身答案：D答案：B3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(

)A．3

B．－3C．2 D．7解析：选C.由题意得f(3)＋f(0)＝－f(－3)＋f(0)＝2＋0＝2.故选C.4．(2011年淮北月考)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函数，则实数a＝________.5．(教材改编题)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数的充要条件是________．答案：b＝0

考点探究•挑战高考考点突破考点一函数奇偶性的判定1．判断函数的的奇偶性，应应该首先分析析函数的定义义域，在分析析时，不要把把函数化简，，而要根据原原来的结构去去求解定义域域，如果定义义域不关于原原点对称，则则一定是非奇奇非偶函数．．2．若定义域关关于原点对称称，则可用下下述方法进行行判断：(1)定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．(2)等价形式判断断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数．例1【思路点拨】判断函数的奇奇偶性，首先先要检验其定定义域是否关关于原点对称称，若关于原原点对称，再再严格按照奇奇偶性的定义义或其等价形形式进行推理理判断．且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又又是偶函数．．(4)函数定义域为为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．【失误点评】本例(4)要对定义域内内的自变量分分两种情况考考察．如果只只有x＞0或x＜0就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它它是奇函数是是错误的、不不完整的．考点二函数奇偶性的应用研究函数奇偶性主要用其来解决函数图像的对称问题，以及用定义列方程求参数值等．

(1)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)．求f(x)的解析式．(2)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，求实数a的值．例2【思路点拨】(1)由奇函数在原原点处有定义义，则f(0)＝0可求得b的值后再由对对称性可求得得f(x)的解析式．(2)根据f(－x)＝f(x)列出关于a的方程求解．．【解】(1)∵f(x)为定义在R上的奇函数，，∴f(0)＝0，∴20＋0＋b＝0，解得b＝－1，∴当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，当x＜0时，－x＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－(2－x－2x－1)＝－2－x＋2x＋1，【规律小结】(1)利用奇偶性求求解析式的一一般方法是：：①“求谁设谁”，即在哪个区区间求解析式式，x就设在哪个区区间内．②要利用已知区区间的解析式式进行代入．．③利用f(x)的奇偶性写出出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．(2)利用奇偶性求求参数值一般般利用f(－x)＝f(x)(或－f(x))列出方程求解解．变式训练设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．．考点三函数的周期性及其应用对函数周期性性的考查，主主要涉及判断断函数的周期期、利用周期期性求函数值值，以及解决决与周期有关关的函数综合合问题．充分分利用题目提提供的信息，，迁移到有定定义的范围上上进行求值是是解答此类问问题的关键．．设f(x)是定义在R上的奇函数，，且对任意实实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．例3【解】(1)证明明：：∵∵f(x＋2)＝－－f(x)∴f(x＋4)＝－－f(x＋2)＝f(x)∴f(x)是周周期期为为4的周周期期函函数数．．(2)当x∈[－2,0]时，，－－x∈[0,2]，由由已已知知得得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－－2x－x2，又f(x)是奇奇函函数数，，∴∴f(－x)＝－－f(x)＝－－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当当x∈[2,4]时，，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周周期期为为4的周周期期函函数数，，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而而求求得得x∈[2,4]时，，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－－1.又f(x)是周周期期为为4的周周期期函函数数．．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.【规律律小小结结】关于于函函数数周周期期性性常常用用的的结结论论：：(1)定义义在在R上的的函函数数f(x)，①若有有两两条条对对称称轴轴x＝a，x＝b，则则f(x)是周周期期函函数数且且2|a－b|是它它的的一一个个周周期期．．②若有有两两个个对对称称中中心心(a,0)，(b,0)，则则f(x)是周周期期函函数数且且2|a－b|是它它的的一一个个周周期期．．③若有有一一个个对对称称中中心心(a,0)和一一条条对对称称轴轴x＝b，则则f(x)是周周期期函函数数且且4|a－b|是它它的的一一个个周周期期．．方法感悟方法法技技巧巧1．正正确确理理解解奇奇函函数数和和偶偶函函数数的的定定义义，，必必须须把把握握好好两两个个问问题题：：(1)定义义域域在在数数轴轴上上关关于于原原点点对对称称是是函函数数f(x)为奇奇函函数数或或偶偶函函数数的的必必要要非非充充分分条条件件；；(如例例1(5))(2)f(－x)＝－－f(x)或f(－x)＝f(x)是定定义义域域上上的的恒恒等等式式．．(如例例2(2))2．奇奇偶偶函函数数的的定定义义是是判判断断函函数数奇奇偶偶性性的的主主要要依依据据．．为为了了便便于于判判断断函函数数的的奇奇偶偶性性，，有有时时需需要要3．奇奇函函数数的的图图像像关关于于原原点点对对称称，，偶偶函函数数的的图图像像关关于于y轴对对称称，，反反之之也也真真．．利利用用这这一一性性质质可可简简化化一一些些函函数数图图像像的的画画法法，，也也可可以以利利用用它它去去判判断断函函数数的的奇奇偶偶性性．．(如课前热热身1)4．如果奇奇偶性是是讲函数数图像的的对称，，那么函函数的周周期性就就是讨论论函数图图像的平平移，而而函数图图像的对对称与函函数的周周期性也也是密不不可分的的，比如如：若函函数f(x)的图像关关于直线线x＝a，x＝b(a≠b)对称，则则f(x)为周期函函数，其其周期为为T＝2(b－a)等．(如例3)失误防范范1．判断函函数的奇奇偶性，，首先应应该判断断函数定定义域是是否关于于原点对对称．定定义域关关于原点点对称是是函数具具有奇偶偶性的一一个必要要条件．．2．判断函函数f(x)是奇函数数，必须须对定义义域内的的每一个个x，均有f(－x)＝－f(x)．而不能能说存在在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶偶函数的的判断以以此类推推．考情分析考向瞭望•把脉高考函数的奇奇偶性、、周期性性是每年年高考必必考的内内容之一一．主要要涉及函函数奇偶偶性的判判断，利利用函数数奇偶性性、周期期性求函函数值，，利用奇奇偶性求求参数值值以及求求三角函函数的周周期等．．多以选选择题和和填空题题形式出出现，与与函数概概念、图图像、性性质综合合在一起起考查，，难度一一般不大大．预测2012年高考仍仍将以三三角函数数的周期期性和抽抽象函数数的奇偶偶性与周周期性为为主要考考点，重重点考查查逻辑推推理与理理解能力力．真题透析例(2010年高考安安徽卷)若f(x)是R上周期为为5的奇函数数，且满满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2【解析】∵由于函数数f(x)的周期为为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.【答案】A【名师点评评】(1)本题易出出现如下下错误：：①不知道如如何把求求f(3)，f(4)的值转化化到求f(1)，f(2)的值；②这类综合合应用函函数性质质的问题题，常常常由于问问题涉及及的知识识点与面面比较广广，容易易出现无无从下手手的现象象，特别别是抽象象函数问问题，这这就需要要考生对对所学知知识要烂烂熟于心心，对所所学方法法会灵活活运用．．