【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.13定积分和微积分基本定理精品课件 理 北师大

§2.13定积分和微积分基本定理

§2.13定积分和微积分基本定理考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理f(x)dx2．定积分的性质kf(x)dx3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么

f(x)dx＝_________，这个结论叫作微积分基本定理，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成________，即

f(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)F(x)|4．定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分

f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图1阴影部分)．(2)一般情况下，定积分

f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的和(图2阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．思考感悟你能用定积分的几何意义解释其性质(2)吗？提示：如图所示，设在区间[a，b]上恒有f(x)≥0，c是区间(a，b)内的一点，那么从几何图形上看，直线x＝c把大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2，用定积分表示就是性质(2)．课前热身答案：C答案：：D4．(原创题题)定积分分(2x－x3)dx的值为________．答案：05．已知t>0，若答案：3考点探究•挑战高考考点突破考点一定积分的计算利用微积积分基本本定理求求定积分分，其关关键是求求出被积积函数的的原函数数，求一一个函数数的原函函数与求求一个函函数的导导数是互互逆运算算，因此此应注意意掌握一一些常见见函数的的导数．．例1求下列定定积分：：【思路点拨拨】先由定积积分的性性质将其其分解为为简单的的定积分分问题再再求解．．【名师点评评】利用微积积分基本本定理求变式训练练1计算以下下定积分分：(1)(2x2－)dx；(2)(sinx－sin2x)dx；(3)|3－2x|dx.考点二定积分的几何意义利用定积积分求平平面图形形面积的的关键是是画出几几何图形形，结合合图形位位置，确确定积分分区间以以及被积积函数，，从而得得到面积积的积分分表达式式，再利利用微积积分基本本定理求求出积分分值．例2【思路点拨拨】需根据面面积求出出切点坐坐标．这这又需要要画出函函数y＝x2(x≥0)及切线的的图形，，再根据据定积分分的几何何意义，，求函数数y＝x2(x≥0)的定积分分，从而而确定相相关图形形的面积积，即可可求出切切点坐标标，其他他问题便便可顺利利解决．．【名师点评评】用定积分分计算平平面区域域的面积积，首先先要确定定已知曲考点三定积分的综合应用应用导数与定定积分求面积积的最值，其其基本思路是是：将面积表表示成某个变变量的函数，，利用函数的的有关知识求求解；如果常常规方法不容容易求出，不不要忘记用定定积分求曲边边梯形的面积积；如果阴影影部分的边界界不同，可分分不同情况讨讨论来解决．．例3如图，已知曲曲线C1：＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a＞1)交于点O，A，直线x＝t(0＜t≤1)与曲线C1，C2分别相交于点点D，B，连结OD，DA，AB.(1)写出曲边四边边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式式S＝f(t)；(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．．【思路点拨】(1)曲边四边形ABOD分为△ABD和曲边三角形形ODB，求出A，B，D三点的坐标，，可求面积．．(2)可利用导数求求最大值．方法感悟方法技巧1．求定积分的的方法(1)利用定义求定定积分(定义法)，可操作性不不强．(2)利用微积分基基本定理求定定积分步骤如如下：①求被积函数数f(x)的一个原函数数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(如例1)2．求曲边多边边形的面积其步骤为：(1)画出草图，在在直角坐标系系中画出曲线线或直线的大大致图像．(2)借助图形确定定被积函数，，求出交点坐坐标，确定积积分的上限、、下限．(3)将曲边梯形的的面积表示为为若干定积分分之和．(4)计算定积分．．(如例3)失误防范1．被积函数若若含有绝对值值号，应去绝绝对值号，再再分段积分．．2．若积分式子子中有几个不不同的参数，，则必须先分分清谁是被积积变量．3．定积分式子子中隐含的条条件是积分上上限不小于积积分下限．4．定积分的几几何意义是曲曲边梯形的面面积，但要注注意：面积非非负，而定积积分的结果可可以为负．5．将要求面积积的图形进行行科学而准确确的划分，可可使面积的求求解变得简捷捷．考情分析考向瞭望•把脉高考定积分是高考考的知识点之之一，内容要要求较低，考考查重点是定定积分的简单单计算与应用用，题型均为为小题，难度度中低档．预测2012年高考将与线线性规划，几几何概型等与与面积有关问问题综合考查查定积分的简简单应用，重重点考查计算算能力与数形形结合思想．．真题透析例(2010年高考陕西卷卷)从如图所示的的长方形区域域内任取一个个点M(x，y)，则点M取自阴影部分分的概率为________．【名师点评】(1)本题易失误的的是：①求不出阴影部部分的面积；；②在求阴影部分分面积时，将将积分上限误误认为“3”；③不能正确求出出被积函数原原函数，对微微积分基本定定理认识模糊糊，运算能力力差等都会导导致本题出错错．(2)根据微积分基基本定理计算算定积分的关关键是找到一一个函数，使使这个函数的的导数等于被被积函数，记记准基本初等等函数的导数数公式能帮助助我们快速找找到与被积函函数对应的原原函数，同时时还要合理地地利用定积分分的性质和函函数的性质简简化计算．(3)求一些曲边图图形的面积可可以利用定积积分的几何意意义以及微积积分基本定理理，但要特别别注意图形面面积与定积分分不一定相等等，如函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像与x轴围成的图形形的面积为4，而其定积分分为0.名师预测1．如图所示，，阴影部分的的面积是()A．16B．18C．20D．