【优化方案】高考数学一轮复习 第7章第四节 直线与平面垂直课件 文 苏教

第四节直线与平面垂直第四节直线与平面垂直考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的___________________，那么这条直线和这个平面垂直．该直线叫做这个平面的垂线，该平面叫做这条直线的垂面．即对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的______________直线．所有直线都垂直任意一条(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_____________都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．它的数学符号表示为：如果______________________________________，那么l⊥α.(3)性质定理：同垂直于同一个平面的两条直线_________．符号表示：_________________________.相交直线m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n平行a⊥α，b⊥α，则a∥b(4)点到平面的距离：从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和___________间的线段长，叫做这个点到这个平面的距离．2．斜线在平面内的射影垂足(1)过一点向平面引垂线，垂足叫做这个点在这个平面内的射影；当这一点在平面内时，该点在平面上的射影就是它自身；这一点与_________之间的线段长叫做这点到这个平面的距离．(2)一条直线和一个平面相交，但不垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做_________．射影斜足从平面外一点向平面引斜线，这点与_________间的线段叫做这点到这个平面的斜线段．如上图所示，直线PR∩α＝R，PR不垂直于α，直线PR是α的一条斜线，点R为斜足，线段PR是点P到α的斜线段．(3)平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有_______条．斜足无数(4)从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影．如上图所示，直线QR是直线PR在平面α上的射影，线段QR是点P到平面α的斜线段PR在平面α上的射影．(5)斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上．3．直线与平面所成的角(设为θ)(1)斜线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的_______所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．射影锐角(2)当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是_______；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为________.0°直角直线l和α的位置关系l⊂α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范围θ＝______θ＝_____θ∈___________0°90°°思考感感悟如果一一条直直线与与一个个平面面内的的无数数条直直线垂垂直，，则这这条直直线和和这个个平面面是否否垂直直？提示：：不一定定垂直直，若若平面面内一一组平平行线线与直直线l垂直，但直直线l与平面的关关系是不确确定的．1．三棱锥的的四个面中中直角三角角形最多有有________个．答案：42．如果一条条直线垂直直于一个平平面内的①①三角形的的两边；②②梯形的两两边；③圆圆的两条直直径；④正正六边形的的两条边，，则能保证证该直线与与平面垂直直的是________．答案：①③③课前热身3．下列说法法正确的个个数是________．①若l上有无数个个点不在平平面α内，则l∥α②若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直直线垂直③若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中中点，则则EF与经过AC边的所有有平面平平行④两条垂垂直的直直线中有有一条和和一个平平面平行行，则另另一条和和这个平平面垂直直答案：14．给出下下列四个个说法：：①经过平平面外一一点有且且仅有一一个平面面与已知知平面垂垂直；②如果一一条直线线和两个个垂直平平面的一一个垂直直，它必必和另一一个平行行；③过不在平面面内的一条直直线可作无数数个平面与已已知平面垂直直；④如果两个平平面互相垂直直，经过一个个平面内一点点与另一个平平面垂直的直直线在第一个个平面内．其中正确的是是________．答案：④考点探究·挑战高考直线与平面垂直的判定考点一考点突破证明线面垂直直的方法和常常用结论(1)利用线面垂直直的定义．(2)利用线面垂直直的判定定理理．(3)两平行线中的的一条垂直于于平面，则另另一条也垂直直于这个平面面．(4)两平面垂直，，在一个平面面内垂直于交交线的直线必必垂直于另一一个平面．(5)一直线垂直于于两平行平面面中的一个，，那么它必定定垂直于另一一个平面．(6)两相交平面同同时垂直于第第三个平面，，那么两平面面的交线垂直直于第三个平平面．如图，在正方方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.【思路分析】根据线面垂直直的判定定理理，要证明OE⊥平面ACD1，只须在平面面ACD1内找两条相交交直线分别与与OE垂直．例1【名师点评】证明线面垂直直，往往利用用线线垂直或或面面垂直转转化，除此外外，构造等腰腰三角形证垂垂直及利用勾勾股定理求长长度之间的关关系证明垂直直，甚至借助助矩形相邻边边的垂直等，，都是可能用用到的方法．．已知：S－ABC为正三棱锥，，AH⊥面SBC于H.求证：H是△SBC的垂心．【思路分析】只需证SH⊥BC、BH⊥SC，要证SH⊥BC，只需证SA⊥BC.由于是正三棱棱锥，所以只只需证对棱互互相垂直即可可．线面垂直的性质定理的应用考点二例2【证明】取BC的中点D，连结AD，SD，则SD⊥BC，AD⊥BC，∴BC⊥平面SAD.∵SA⊂平面SAD，∴BC⊥SA.同理，SC⊥AB，SB⊥AC.连SH.∵AH⊥平面SBC，BC⊂平面SBC，∴AH⊥BC，又SA⊥BC，AH∩SA＝A，∴BC⊥面SAH，又∵SH⊂面SAH，∴BC⊥SH.同理BH⊥SC.∴H是△SBC的垂心．【名师点评】证明线线垂直直常采用线面面垂直进行证证明，构造一一个线的垂面面是证明线面面垂直的常用用方法．变式训练1如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG，求证：BC∥FG.证明：如图，，连结DE，由AD⊥AB，AD⊥AC，可得得AD⊥平面面ABC，而BC⊂平面面ABC，则则AD⊥BC.又AE⊥BC，得得到到BC⊥平平面面ADE，①①∵AF＝AG，EF＝EG，AD∩ED＝D，∴FG⊥平平面面ADE.②由①①、、②②得得到到BC∥FG.对于于线线面面垂垂直直问问题题，，首首先先应应分分析析它它给给出出了了哪哪些些条条件件，，可可以以得得出出什什么么结结论论，，再再分分析析问问题题是是什什么么，，需需要要什什么么条条件件，，从从而而在在条条件件与与结结论论之之间间搭搭起起一一座座桥桥梁梁，，在在分分析析时时要要紧紧紧紧围围绕绕““线线线线垂垂直直、、线线面面垂垂直直可可相相互互转转化化””这这一一思思想想进进行行探探究究．．与线面垂直有关的探索性问题考点三如图图所所示示，，四四棱棱锥锥P－ABCD中，，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底底面面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中中点点．．(1)求证证：：BM∥平平面面PAD；(2)在△△PAD内找找一一点点N，使使MN⊥平平面面PBD.例3【思路路分分析析】(1)取PD的中中点点E，连连结结EM、EA.(2)寻找找与与面面PBD垂直直的的平平面面及及交交线线，，再再据据面面面面垂垂直直的的性性质质探探寻寻N点的的位位置置．．【解】(1)证明明：：∵∵M是PC的中中点点，，取取PD的中中点点E，(2)由(1)知ABME为平平行行四四边边形形．．PA⊥底面面ABCD，AB⊂底面面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面面PAD.同理理CD⊥平面面PAD.∵AE⊂平面面PAD，∴AB⊥AE，∴ABME为矩矩形形．．∵CD∥ME，CD⊥PD，PD⊥AE.∴PD⊥平面面ABME，PD⊂平面面PBD.∴平面面PBD⊥平面面ABME，作MF⊥EB，交BE于F，∴MF⊥平面PBD.延长MF交AE于N，在矩形形ABME内，AB＝ME＝1，【名师点评评】该题要找找平面PBD的垂线，，应先找找出面PBD的垂面ABME，则垂线线就在面面ABME内，且与与交线BE垂直，故故要找垂垂线往往往是先找找垂面．．解：(1)取AB的中点E，连结DE、CE，因为△ADB是等边三三角形，，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.②当D不在平面面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE、CE为相交直直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述述，总有有AB⊥CD.方法技巧巧1．这部分分内容知知识多，，准确理理解，熟熟练掌握握定义、、判定定定理、性性质定理理并能够够进行三三种语言言的转换换是关键键．2．直线与与平面垂垂直的判判定方法法①定义法法：直线线与平面面内任一一直线垂垂直．方法感悟②判定定定理法：：要证一一条直线线与一个个平面垂垂直，只只要证这这条直线线和这个个平面内内两条相相交直线线垂直即即可．③面面垂垂直的性性质：如如果两个个平面垂垂直，那那么在一一个平面面内垂直直于交线线的直线线垂直于于另一个个平面．．3．转化思思想的应应用：线线线、线线面、面面面的垂垂直关系系可以相相互转化化：失误防范范1．在观察察空间几几何体图图形时，，线线、、线面的的垂直““位置””观察错错误，没没有合理理地推导导，只凭凭主观猜猜想造成成结论错错误．2．在某些些题目中中，所给给的边角角数量较较多，这这类题应应主要由由数量如如勾股定定理、等等腰等，，构造出出垂直关关系，易易忽视数数量对垂垂直的影影响．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年年的江苏苏高考试试题来看看，线面面垂直的的判定与与性质是是高考的的重点和和热点，，其题型型既有填填空题，，也有解解答题，，难度中中等偏高高．预测2012年江苏高高考考查查的可能能性仍然然较大，，要求学学生有较较强的空空间想象象力，逻逻辑推理理能力以以及分析析问题解解决问题题的能力力．(本题满分分14分)如图，已已知PA垂直于矩矩形ABCD所在的平平面，M、N分别是AB、PC的中点，，若∠PDA＝45°，求证：：MN⊥平面PCD.规范解答例∴EN綊AM，∴四边形AMNE为平行四四边形．．∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直直角三角角形.7分∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE.10分又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.14分【名师点评】本题主要考考直线面垂垂直的判定定与性质的的应用，理理清关系，，合理转化化，对空间间想象力，，推理论证证能力要求求较高．1．已知m、n是两条不同同直线，α，β是两个不同同平面，有有下列4个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若m，n是异面直线线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.其中正确的的命题序号号是________．名师预测解析：根据空间线线面、面面面平行与垂垂直的判定定与性质定定理可知正正确的命题题序号是②②③.答案：②③③2．在正三棱棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有有下列三个个结论：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.则所有正确确结论的序序号是________．解析：如图，设P在面ABC内射影为O，则O为正△ABC的中心．①可证AC⊥面PBO，∴AC⊥PB；②AC∥DE，可得AC∥面PDE；③BA与DE不垂直，故故AB与平面PDE不垂直