【名师一号】高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用课件 新人教A必修2

4.2.3直线与圆的方程的应用

11.掌握直线方程､圆的方程,进一步提高知识运用能力.2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.2在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:第一步:______________________,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过__________,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 注意:______________方法的灵活运用.

建立适当的直角坐标系代数运算数形结合思想31.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将几何问题转化为代数问题.第二步:用代数运算解决代数问题.第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.2.要灵活运用数形结合的思想方法.对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.4题型一数形结合思想方法的应用例1:(1)方程表示的曲线是什么?(2)若方程有解,求实数b的取值范围.解:(1)等价于x2+y2=9(y≥0),∴表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的圆在x轴上方的半圆(包括两个端点).5

(2)方程有解,即半圆与直线y=x+b有交点(如下图).易求出,当-3≤b≤3时,方程有解.6变式训练1:(2008·全国卷)若直线与圆x2+y2=1有公共点,则()A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥17答案:D8题型二用坐标法求圆的方程例2:如下图所示,点M是弓形弧的中点,弦|OA|=8,弓形的高为2m,求此弧所在圆的方程.分析:只需要求圆心坐标及半径即可.9解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上解得:b=-3,r2=25.所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.10规律技巧:本本题也可以选选取弦OA的的中点为坐标标原点建立直直角坐标,可求得得此弧所在圆圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此此看来,建立的坐标系不不同,所求得得的方程不同同.11变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于于1,O1O2=4,过动点点P分别作圆O1,圆O2的切线PM､､PN(M,N分别为切切点),使得得,建立平面直直角坐标系,并求动点P的轨迹方程程.12解:以O1O2的中点O为坐坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直直角坐标系如图图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).13由已知得得PM2=2PN2,因为圆的半径径为1,所以以:PO21-1=2(PO22-1),设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求动点P的轨迹方程程为(x-6)2+y2=33.14题型三与与圆有关的综综合问题例3:已知△△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△△ABO内切切圆上一点,求以|PA|､|PB|､|PO|为直径的的三个圆面积积之和的最大大值与最小值值.分析:三个圆圆面积之和的的最值问题实实质上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.由于P是△ABO内切圆圆上的点,若若想找到P点点坐标,必须须先从△ABO内切圆的的方程入手.15解:如下图,建立直角坐坐标系,使A､B､O三三点的坐标分分别为A(4,0)､B(0,3)､O(0,0).16易求得△ABO的内切点点半径r=1,圆心(1,1).故内切圆的方方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化简为x2+y2-2x-2y+1=0,①设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.②②17由①可知x2+y2-2y=2x-1,将其代入②有有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值值为18,三三个圆面积之之和为∴所求面积的的最大值为最最小值为18规律技巧:选选定原点,建建立恰当的直直角坐标系,可以简化几几何问题,将几何问问题转化为代代数问题.19变式训练3:一艘轮船沿沿直线返回港港口的途中,接到气象台台的台风预报,台台风中心位于于轮船正西70km处处,受影响的的范围是半径为30km的圆形形区域,已知知港口位于台台风中心的正正北40km处,如果果这艘船不改改变航线,那那么它是否会会受到台风的的影响?20解:如图所示示:21以台风中心为为坐标原点,以正东方向向为x轴正方方向建立直角角坐标系,其中取取10km为单位长度度,则受台风风影响的圆形形区域所对应的方程为为x2+y2=9,港口所所在位置的坐坐标(0,4),轮船的的位置坐标(7,0),则轮船船航线所在直直线方程为即4x+7y-28=0,圆心到直直线的距离而r=3,∴d>r,∴直直线与圆相离离,所以轮船船不会受到台台风影响.22易错探究例4:已知圆圆x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求两圆的位位置关系.得4x-3y-4=0,即代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.∵Δ=100-4×25=0,∴两圆只有一一个公共点,故两圆相切切.23错因分析:两两圆方程联立立,Δ=0说说明两圆只有有一个公共点点,此时两圆圆有可能外切切,也有可能能内切.正解:把两圆圆的方程分别别配方,化为为标准方程为为(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,∴两圆心坐标标C1(-1,-1),C2(3,-4),半径r1=1,r2=4.∴圆心距|C1C2|==5=r1+r2.∴两圆相外外切.24技能演练练(学生用用书P95)25基础强化1.已知直线线ax-by+c=0(abc≠0),与圆x2+y2=1相切,则则三条边长分分别为|a|,|b|,|c|的三三角形()A.是锐角三三角形B.是直角三三角形C.是钝角三三角形D.不存在在解析:直线与与圆相切,则则∴a2+b2=c2.答案:B262.已知点A､B分别在在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9上,则A､B两点之之间的最短距距离为()解析:两圆心心之间的距离离为∴两圆相离,∴A、B两两点之间的最最短距离为答案:C273.方程x(x2+y2-1)=0和和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图图形是()A.都是两个个点B.一条直线线和一个圆C.前者是一一条直线和一一个圆,后者者是两个圆D.前者为两两个点,后者者是一条直线线和一个圆28解析:x(x2+y2-1)=0x=0或或x2+y2-1=0,则则它表示一条条直线x=0和一个圆x2+y2=1;x2-(x2+y2-1)2=0(x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0,即它表示两个圆圆.因此,选选C.答案:C294.过原点的的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若若切点在第三三象限,则该该直线的方程程是()解析:设切线线方程为y=kx,圆的的方程化为(x+2)2+y2=1,而圆心心(-2,0)到直线y=kx的距距离为1,∴又∵切点在第第三象限,∴∴答案:C305.(2007·重庆)若直线y=kx+1与与圆x2+y2=1相交于P､Q两点,且∠POQ=120°°(其中O为为原点),则则k的值为()解析:∵∠POQ=120°,∴点点O到直线y=kx+1的距离又答案:A316.(2007·湖南)圆心为(1,1)且与与直线x+y=4相切的的圆的方程是是___________________.解析:半径则圆的方程为为(x-1)2+(y-1)2=2.(x-1)2+(y-1)2=2327.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的的值为_____________________.解析:当两圆圆内切时有=4,∴a=0.当两圆外切时时,有∴∴a=±±338.与圆x2+y2=4切于点的的切切线方程为__________.解析:圆心(0,0),∴切线的斜率率又又切点为为∴切线方程为为即34能力提升9.已知圆C:(x-2)2+y2=2.(1)求与圆圆C相切,且且在x轴､y轴上截距相相等的直线方方程;(2)从圆C外一点P作作圆C的一条条切线,切点点为M,O为为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时时点P的坐标标.35解:(1)设设横､纵截距距相等的切线线方程为kx-y=0,与x+y+c=0,则与解解得得k=±1,c=-4或或c=0.故切线方程为为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,得化简得点P的的轨迹为直线线要要使|PM|最小,即要使|PO|最小,过O作直线线的的垂线.∴垂垂足是是所所要求的点.3610.已知实实数x,y满满足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求的的最值;(2)求y-x的最值;(3)求x2+y2的最值.解:(1)∵∵圆的标准方方程为(x-2)2+y2=3,其圆心心为(2,0),半径为为设设即即y=kx.当直线y=kx与圆相切切时,斜率k取最大值和和最小值.此此时解得k=±∴的的最大大值为最最小值为37(2)设y-x=b,即即y=x+b.当y=x+b与圆相相切时,纵截截距b取得最最大值和最小小值,此时即b=-2±±∴∴y-x的最最大值为最最小小值为-2-(3)x2+y2表示圆上一点点与原点距离离的平方,由由平面几何知知识可知,它它在过原点的的连心线与圆圆的交点处取取得最大值和和最小值.又又圆心到原点点的距离为2,∴x2+y2的最大值为最最小小值为38品味高考考(学生用用书P95)3911.