【名师一号】高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A必修2

2.3.2平面与平面垂直的判定

1自学导引(学生用书P48)21.理解两个平面垂直的定义及判定定理,运用它解决有关的简单问题.2.了解二面角的概念,掌握二面角的表示方法.3课前热身(学生用书P48)4

1.两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直.2.如果一个平面过另一个平面的一条______,那么这两个平面互相垂直.3.从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为________,这条直线叫做二面角的________.以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角,叫做二面角的________.4.二面角的大小,用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是________.直二面角垂线二面角棱平面角几度5名

师

讲

解(学生用书P49)

6

两平面相交成直二面角时,两平面垂直.两平面相交的这一特殊位置关系,决定着平面与平面垂直的概念､性质和判断,涉及的空间知识极为丰富,是高考的热点内容之一.除定义外,判断两平面垂直的最常用的判定定理是“一平面过另一个平面的垂线”.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的,同时,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.7异面直线所成的角､斜线与平面所成的角､二面角统称为空间角,其求解方法相同,步骤是:第一步,作出它们的平面角;第二步,证明所作的角满足定义;第三步,将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小,又简称为“一作､二证､三计算”.在计算时,会受到三角函数知识的影响,因此学习直线和平面所成的角､二面角时,仅仅了解这两个概念即可,不要在其如何求解上过多纠缠,其求解方法将在选修中重点学习.8典例剖析(学生用书P49)9题型一空间线与面的位置关系例1:(1)已知m､l是直线,α､β是平面,给出下列命题:①若l垂直于α内两条相交直线,则l⊥α;②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;③若mα,lβ,则l⊥m,则α⊥β;④若lβ,且l⊥α,则α⊥β;⑤若mα,lβ,且α∥β,则l∥m.10其中中正正确确的的命命题题的的序序号号是是__________.解析析:本本题题考考查查线线与与线线､､线线与与面面､､面面与与面面的的位位置置关关系系.命命题题①①是是线线面面垂垂直直的的判判定定定定理理,所所以以正正确确;命命题题②②,l∥∥αα,但但l不不能能平平行行于于αα内内所所有有直直线线;命命题题③③,l⊥⊥m,不不能能保保证证l⊥⊥αα,即即分分别别包包含含l与与m的的平平面面αα､､ββ可可能能平平行行也也可可能能相相交交而而不不垂垂直直;命命题题④④,为为面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理,所所以以正正确确;命命题题⑤⑤,αα∥∥ββ,但但分分别别在在αα､､ββ内内的的直直线线l与与m可可能能平平行行,也也可可能能异异面面.①④11(2)如果直直线l､m与与平面α､ββ､γ满足l=β∩γ,l∥α,mαα,m⊥⊥γ,那么必必有()A.α⊥γ和和l⊥mB.α⊥γ和m∥βC.m∥β且且l⊥mD.α∥β和αα⊥γ12解析:在“命命题”形式的的选择题中,应会寻找恰恰当的数学模模型来否定其其中一些错误误命题,如下下图.正方体体ABCD——A1B1C1D1中,取平面CDD1C1为β,对角面面ABC1D1为γ,对角面面A1B1CD为α,CB1为m,C1D1为l,于是由由m∩β=C,可排除B､C两项;又由α∩ββ=CD,排排除D项;易易证A正确.答案:A13规律技巧:(1)题的关关键是将符号号语言转化为为图形语言,要求考生根根据符号提供供的信息去画画图,去进行行推理和判断断,试题形式式上是填空题题,实际上是是多选题,是是高考题型的的一种新变化化.(2)排除法法解立体几何何选择题是常常用的方法,本题是通过过构造正方体体中的线和面面来举反例,寻找面面平平行条件的关关键是牢记定定义和定理.14变式训练1:设有直线m\,n和平平面α\,ββ,则下列命命题中,正确确的是()A.若m∥n,mα,nββ,则α∥βB.若m⊥αα,m⊥n,nββ,则α∥βC.若m∥n,n⊥β,m α,则则α⊥βD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则则α⊥β解析:C中,由m∥n,n⊥β,得得m⊥β.又又m α,∴α⊥β.答案:C15题型二用用定义证明两两平面垂直例2:如图,在四面体ABCD中,,求证:平面ABD⊥平面面BCD.16分析:△ABD与△BCD有公共边边BD,且都都是等腰三角角形.因此取取BD的中点点E,连结AE､CE.则∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.证该角为直直角即可.17证明:取BD的中点E,连结AE,CE.由AB=AD=CB=CD知AE⊥BD,CE⊥BD∴∠AEC为为二面角A-BD-C的的平面角.在△ABD中中,同理,在△BCD中,18∴AE2+CE2=a2=AC2∴AE⊥CE,即∠AEC=90°°.∴平面ABD⊥平面BCD.规律技巧:在在立体几何中中,常把空间间问题,转化化为平面问题题,用平面几几何知识求解解.19变式训练2:如图,已知知:AB⊥ββ,AB∩ββ=B,ABα.求证:α⊥ββ.20证明:如下图图,设α∩ββ=a,则B∈a.21∵AB⊥β,aββ∴AB⊥⊥a,在平面β内作作BE⊥a,则∠ABE为二二面角α-a-β的平面面角.∵AB⊥β,BEββ.∴AB⊥BE.∴∠ABE=90°即二二面角α-a-β为直二二面角∴α⊥β.22题型三面面面垂直的判判定例3:在正方方体ABCD-A1B1C1D1中,E､F分分别为AB､､BB1的中点.求证:平面DEF⊥平面面A1BD1.23分析:画出示示意图,利用用正方体的性性质,证面面面垂直,可先先证线面垂直直,再用判定定定理得证.24证明:如下图图所示.25由正方体的性性质知,A1D1⊥平面A1B1BA.EF平面A1B1BA,∴A1D1⊥EF.A1B⊥AB1,EF∥AB1,∴A1B⊥EF.又A1D1∩A1B=A1,∴EF⊥平面面A1BD1.而EF平平面DEF,∴平面DEF⊥平面A1BD1.26变式训练3:如图,正方方体ABCD-A1B1C1D1中,求:(1)直线D1C与平面AC所成的角;(2)二面角角D1—BC—D的的大小.分析:∠D1CD是直线D1C与平面AC所成的角,也是二面角角D1-BC-D的的平面角.27解:(1)∵∵D1D⊥平面AC,∴D1C在平面AC上的射影是是DC.∴∠D1CD是直线D1C与平面AC所成的角.在△D1CD中中,D1D⊥⊥CD,D1D=CD,∴∠∠D1CD=45°°.∴∴直直线线D1C与与平平面面AC所所成成的的角角是是45°°.28(2)在在正正方方体体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥⊥CD,BC⊥⊥CC1,∴∴BC⊥⊥平平面面D1C.∴∴BC⊥⊥D1C,BC⊥⊥CD.∴∠∠D1CD是是二二面面角角D1-BC-D的平平面角.由(1)知∠D1CD=45°,∴二面角角D1-BC-D的大大小是45°.29易错探究究30例4:在在长方体体ABCD—A1B1C1D1中,底面面ABCD为正正方形,试问:截面ACB1与对角面面BD1垂直吗?错解:如如图所示示,设AC与BD的交交点为O,连接接B1O,则B1O是截面面ACB1与对角面面BD1的交线.因为B1O是底面面的斜线线,所以以截面ACB1与底面倾倾斜,从从而截面面ACB1不可能与与对角面面BD1垂直.31错因分析析:错解解从B1O倾斜于于底面,就断定定截面ACB1不可能与与对角面面BD1垂直,这这是没有有根据的的,犯这这种错误误主要是是由于对对空间中中的线面面关系的的理解不不够透彻彻.正解:在在正方形形ABCD中,连结AC､BD,则AC⊥⊥BD.又BB1⊥平面ABCD.AC平面面ABCD,∴AC⊥⊥BB1.又BD∩∩BB1=B,∴∴AC⊥⊥平面BD1.又AC在在平面ACB1内,∴截面ACB1⊥对角面面BD1.32技能演练(学生用书书P50)33基础强化化1.若平平面α与与平面ββ不垂直直,那么么α内能能与β垂垂直的直直线()A.有0条B.有一一条C.有2条D.有有无数条条答案:A342.过一一条直线线与一个个平面垂垂直的平平面的个个数为()C.无数数D.1或或无数解析:当当a⊥αα时,过过a与平平面α垂垂直的平平面有无无数个;当a不不垂直αα时,过过a与平平面α垂垂直的平平面有一一个.答案:D353.若平平面α⊥⊥平面ββ,平面面β⊥平平面γ,则()A.α∥∥γB.α⊥⊥γC.α与与γ相交交,但不不垂直D.以上都都有可能能解析:垂垂直同一一平面的的两个平平面,相相交､平平行都有有可能.答案:D364.如下下图,ABCD为正方方形,PA⊥平平面ABCD,则在平平面PAB､平平面PAD､平平面PCD､平平面PBC及平平面ABCD中中,互相相垂直的的有()37A.3对对B.4对对C.5对对D.6对对解析:互互相垂直直的平面面有:平平面PAB⊥平平面PAD.平面PAB⊥平平面ABCD,平面PAD⊥⊥平面ABCD,平面面PAB⊥平面面PBC,平面面PAD⊥平面面PCD.共5对.答案:C385.若两两条直线线a与b异面,则过a且与b垂直的的平面()A.有且且只有一一个B.可能能有一个个,也可可能不存存在C.有无无数多个个D.一定定不存在在解析:当当a⊥b时,存存在一个个.当a不垂直直b时,不存在在.答案:B396.自二二面角内内任一点点分别向向两个面面引垂线线,则两两垂线所所成的角角与二面面角的关关系是()A.相等等B.互补补C.互余余D.无法法确定解析:根根据平面面四边形形内角和和等于360°°知,它它们互补补.答案:B407.在四四面体ABCD中,若若有两组组对棱互互相垂直直,则另另一组对对棱所成成的角为为________.90°41解析:借借助于正正方体做做出判断断.如图图所示:在四面面体ABCD中中,有AB⊥CD,AC⊥BD.另另一组对对棱BC⊥AD.因此此,另一一组对棱棱所成的的角为90°.428.如图图,已知知三棱锥锥D—ABC的的三个侧侧面与底底面全等等,且BC=2,则以以BC为为棱,以以面BCD与BCA为为面的二二面角为为________.°9043解析:取取BC的的中点E,连结结AE,DE,由题意意知AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠∠AED为所求求二面角角的平面面角.计算得AD=2.∴AE2+DE2=AD2,∴∠AED=90°°.44能力提升升459.如图图,在四四棱锥P-ABCD中中,底面面是边长长为a的的正方形形,侧棱棱(1)求求证:PD⊥平平面ABCD;(2)求证证:平平面PAC⊥平平面PBD;(3)求证证:∠∠PCD为为二面面角P-BC-D的的平面面角.46证明:(1)∵∵∴PC2=PD2+DC2,∴PD⊥DC.同理可可证:PD⊥AD,又AD∩∩DC=D,∴∴PD⊥平平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥⊥平面面ABCD,∴PD⊥AC,而四四边形形ABCD为正正方形形,∴AC⊥BD,又BD∩∩PD=D,∴AC⊥平平面PDB.47又AC平平面面PAC,∴平面面PAC⊥⊥平面面PBD.(3)由(1)知PD⊥⊥BC,BC⊥⊥DC,∴BC⊥平平面PDC,∴∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角角P-BC-D的平平面角.4810.如图图,已知△△ABC为为正三角形形,EC⊥⊥平面ABC,BD⊥平面ABC,且且EC､DB在平面面ABC的的同侧,M为EA的的中点,CE=CA=2BD.求证:(1)DE=DA;(2)平面面BDM⊥⊥平面ECA;(3)平面面DEA⊥⊥平面ECA.49证明:(1)如下图图,取AC中点N,连结MN,BN.∵△ABC为正三角角形,∴BN⊥AC,∵EC⊥平平面ABC,BD⊥⊥平面ABC,50∴EC∥BD,EC⊥BN.又M为AE中点,EC=2BD,∴MNBD,∴四边形形MNBD是平行四四边形.∴∴BNDM.由BN⊥AC,BN⊥EC,得BN⊥⊥平面AEC,∴DM⊥平平面AEC,∴DM⊥AE,∴AD=DE.51(2)∵DM⊥平面面AEC,DM平平面BDM,∴平面BDM⊥平面