复级数教学课件

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我们从导数与积分的角度研究解析函数均获得成功．于是，我们自然会想从数学分析中选取别的研究角度如幂级数来讨论解析函数．实践证明，这种选择是成功的．2第四章

复级数

首先介绍复数列和复数项级数收敛的概念和判别法，以及幂级数的有关概念和性质。然后讨论解析函数的泰勒级数和罗伦级数展开定理及其展开式的求法，它们是研究解析函数的性质和计算其积分的重要工具。3§1复数项级数和幂级数一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四Δ、幂级数的运算性质4复数序列就是：

这里是复常数，，该序列简单记为。根据的有界性来定义的有界性。研究级数和序列的基本性质，先从复数序列开始。一、复数序列的收敛性及其判别法：5定义1设一复常数，如果对任意，存在使得当时，有则称

极限是，或者收敛且收敛到

，记作

复数列的极限定理16定理2

复数序列收敛到的充分必要条件是：并且复数列收敛与实数列收敛的关系7那末对于任意给定的能找到一个正整数使得当证明：如果从而有即同理可证：8反之,如果，那么当从而有该结论说明:

可将复数列的收敛性转化为判别两个实数列的收敛性.所以9解

(1)令，则，显然，故当，。例1

判别下列数列的收敛性和极限

（1）（2）（3）

(2)显然当时，，因此

(3)由于，并且发散，所以该数列发散。10

所谓通项为复数的复数项级数就是

前n项的和称为级数的部分和.二、复数项级数的收敛性及其判别法11如果该部分和数列收敛到S，则称上述复数项级数收敛，且称为该级数的和，记为

如果该部分和数列发散，则称复数项级数发散。级数收敛与发散的概念说明：与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:

1213复数项级数与实数项级数收敛的关系(定理3)

证明因为定理314说明复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题15解所以原级数发散.练习16级数收敛的必要条件定理4

如果级数收敛，那么当时，

17注意：条件，该条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分的，比如级数

尽管通项，但是它是发散的。重要推论:不满足必要条件,所以原级数发散.判别级数的敛散性时,可先考察?18

级数

绝对收敛：如果级数或收敛，则称级数绝对收敛。绝对收敛级数的性质(定理5)

定理5

如果绝对收敛，那么收敛。19证明由于而根据实数项级数的绝对收敛性,知从而20说明所以综上可得:2122例1

当时，级数绝对收敛，并且例2

判别下列级数的收敛性

(2)(3)解(1)由不趋于零，故由推论得该级数发散。

(2),其绝对值级数的公比为，故该级数不仅收敛而且是绝对收敛。

(3)其实部级数为，虚部级数为23它们通项的绝对值当n→∞时是单调下降，并且趋于零，故由交错级数的判别法知它们是收敛的，从而原复数项级数是收敛的。24例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解251.函数项级数和幂级数的概念称为复变函数项级数。

称为该级数前n项的部分和.级数前n项的和三、幂级数及其收敛半径26如果在上每一点，级数收敛(于)，则称级数在上收敛(于），记为

称为级数的和函数。27当时，得到的函数项级数就是一幂级数，即幂级数为其中z是复变数，系数是复常数.28当时，例幂级数收敛区域为{z:|z|<1}。

在一般情况下，级数是否存在一个圆

在该圆外部发散，而在内部绝对收敛呢？29Abel第一定理定理6

如果幂级数在处收敛，那么对于满足：的任何点z，此幂级数在该点不仅收敛，而且绝对收敛。推论

若幂级数在点z1发散，则它在满足处发散．30证明因而存在正数M,

使对所有的n,由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分请课后完成31收敛半径与幂级数相对应，作一实系数的幂级数：其中x为实数。定理7

设级数的收敛半径为R,按照不同情况，有：（i）如果，那么当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；32（ii）如果，那么级数在复平面上的每一点绝对收敛；（iii）如果，那么级数在复平面上除去外每点均发散。33

在定理7的情况（i）中，当时，级数可能发散，也可能收敛。定理7中的数称为级数的收敛半径。称为它的收敛圆盘。求级数的收敛半径归结为求级数的收敛半径。34

定理8

如果下列条件之一成立，那么当0<l<+∞时，级数的收敛半径当l=0，R=+∞；当l=+∞时，R=0。注(1)(2)

(3)35解答练习试求幂级数的收敛半径.36收敛圆与收敛半径由Abel定理:级数在复平面内绝对收敛.例如,级数对任意给定的

x,则从某个n开始,有于是该级数对任意的实数

x均收敛.该级数在复平面内绝对收敛.对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)

对所有的正实数级数都收敛.37此时,级数在复平面内除原点外处处发散.例如,级数通项不趋于零,如图:故级数发散.(2)对所有的正实数级数除z=0外都发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.38..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域...39

幂级数的收敛范围是因此，事实上，在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?40例题求收敛域常应用到的方法——变量替换法。例1

求下列幂级数的收敛圆及其收敛区域。（1）（2）解（1）令，则由于41得其收敛域为<1,即它的收敛圆域是而且在收敛的圆周上处处发散的。容易发生的错误：令cn=(2+i)n，而得42（2）令，则得由定理8可求出：上式右端级数的收敛半径，并且在的内部是绝对收敛的，因此原级数在时是绝对收敛的，而在时是发散的。另外，由于是收敛的，因此当时，原级数绝对收敛。43四.幂和函数在收敛圆盘内解析

由以上讨论知道，对于级数，总有一个收敛圆(或者仅仅为圆心点)存在，使得级数在此圆内收敛，那么其和函数在收敛圆内是否解析呢？44定理9

设幂级数有收敛圆盘

,那么幂级数的和函数在内解析，并且可以微分任意多次，即上面右端级数的收敛半径仍为R。证明：略。45

定理10

设幂级数有收敛圆盘

,那么在内幂级数的和函数可以逐项积分任意多次，并且每次积分所得到的新级数的收敛半径为即证明：略。46

为了证明有关定理，首先介绍下面两个引理一、有关逐项积分的两个引理引理1（函数项级数的逐项积分）设函数和沿曲线可积，且在上处处有如果存在收敛的正项级数使得在上有那么

§2泰勒(Taylor)级数47证明：由于收敛，因此当时，必有于是设曲线的长度为，当时，有这就证明了该引理。48引理2

若在正向圆周上连续，则（1）对该圆内任一点z有

(2）对该圆外任一点z有49证明：（1）令，由于，因此由等比级数的求和公式得：对任意满足的点成立。由引理1，只须对最后所得的函数项级数找出满足引理条件的正项级数A0+A1+…

+An+…，然后逐项积分就可得到所证结果。50

事实上，由函数f(ξ)的连续性，可设|f(ξ)|在圆周|ξ-z0|=r上的上界为正数M，则对于固定的点z，在该圆周上处处有而是收敛的，故所证等式成立。51（2）当z

在圆周外时，显然对圆周上的点成立。这时有同样由引理1可得所证等式。52二.解析函数的Taylor展开定理定理1

设函数f(z)在圆盘内解析，那么在U内有证明：设。以为中心在内作一圆，使得

z属于其内部，此时由柯西积分公式有又因在C上解析，也一定连续，所以由引理2的结论（1）得53由于z是U内的任意一点，证毕。注定理1中的幂级数称为函数f(z)在点z0的Taylor级数展开式，可以写为其中cn为展开式的Taylor系数，可表示为54定理2

函数在解析的充分必要条件是它在的某个邻域有幂级数展开式。系1

幂级数就是它的和函数在收敛圆盘中的Taylor展开式，即系2(幂级数展开式的唯一性)在定理1中，幂级数的和函数f(z)在收敛圆盘U内不可能有另一幂级数展开式。55三.初等函数的泰勒展开式1

直接展开法：先求出，然后应用泰勒定理写出泰勒级数及其收敛半径。指数函数在处的泰勒（Taylor）展开式下列函数在处的泰勒展开式56

为实常数当时，上式只有有限项，并且是在整个复平面上成立。

57间接展开法：它是根据函数在一点的泰勒级数展开式的唯一性给出的。在这里指从上面6个初等函数的泰勒级数展开式出发，利用幂级数的变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求出其出泰勒级数及其收敛半径。如：应用，令，得58例题例1

求下列函数在点处的泰勒级数展开式及其收敛半径。（1）（2）（3）（4）解（1）在处为唯一的奇点，并且当时，函数，所以函数在处的泰勒级数展开式的收敛半径为|z1-z0|=|0-i|=1，从而在|z-i|<1时有令应用展开式(6)可得：59（2）同理可得其在处的泰勒级数展开式的收敛半径为1。由于,应用展开式（3）得所以当时60（3）由于在整个复平面上解析，故其收敛半径为，从而应用展开式（2)(4)得用直接法也简单，注意到61（4），其Taylor级数收敛半径为1，从而在处的泰勒级数展开式两端同乘以即可得到在处的泰勒级数展开式：注意：显然不必要将写成的多项式再来求在处的泰勒级数展开式。62解因为是可在

内展成泰勒级数，有

例2

试将在点展成泰勒级数。

的唯一有限奇点，所以63小结泰勒(Taylor)级数的形式？幂级数为其中z是复变数，系数是复常数。泰勒级数在收敛半径为R的收敛圆内表示了一个解析函数；

如果函数在半径为R的圆内解析，则它可在该圆内展成泰勒级数。64§3罗朗(Laurent)级数

本节主要讨论函数在环域r<|z-z0|<R内的级数展开问题，并且讨论它在积分计算中的应用，这里r可以为0，而R可以为+∞，并且称环域r<|z-z0|<+∞为点∞的邻域。65问题的引入上节研究了如下的幂级数：对于一般的函数项级数从数学研究的角度，应该可以取具有负幂的：66负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分我们开始研究这一问题同时收敛Laurent级数收敛67收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R68结论:.常见的特殊圆环域:...69一、解析函数的罗朗展开定理

先考虑级数其中是复常数。级数可以看作是变量的幂级数,设该幂级数的收敛半径为R，

(1）如果，那么当时，级数绝对收敛；当时，级数发散；（2）如果，那么级数在绝对收敛；（3）如果，那么级数在复平面上每点均发散。70

更一般地考虑级数其中是复常数。当级数

都收敛时，我们称级数（3.2）收敛,并且它的和函数为(3.3）中两个级数的和函数相加。71

设（3.3）中第一个级数在内绝对收敛，第二个级数在内绝对收敛。若，那么（3.2）在圆环内绝对收敛，且它的和函数是解析的。

级数（3.2）称为罗朗级数.72定理1

设函数在圆环内解析，那么在D内有其中是圆，是一个满足的任何数。73证明：在圆环D内任意取定一点z，然后在D内作圆环使得,这里，用C1及C2

分别来表示圆及。RrD>r1R174由于f(z)在闭圆环上解析，由Cauchy积分公式得75由Taylor定理证明中的引理2（1）

若在正向圆周上连续，则对该圆内一点z有DRr<R176由Taylor定理证明中的引理2（2）

若在正向圆周上连续，则对该圆外一点z有RrD77由于在圆环内解析由复连通区域的Cauchy积分定理可知：中的积分路径和可以改为圆，于是得到证毕。><RrDr1<R178级数(3.4)中，称为该级数的解析部分，而称为该级数的主要部分。级数(3.4)称为在圆环D内的罗朗展开式。注意：由于在圆所围区域可能有f(z)的奇点，因此，不能用Cauchy公式把系数记为：

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二、罗朗级数的性质定理2

若函数在圆环D:内解析，则该函数的罗朗级数展开式在D内处处绝对收敛、可以逐项微分和积分，其积分路径为D内的任何简单闭路，并且其展开式的系数是唯一的，即它的各项系数一定可以表示为式的形式。

证明：略（见书112页）。80三、函数的Laurent展开式理论上应该有两种方法:直接法与间接法

(1)直接展开法利用定理公式计算系数然后写出这种方法只有在找不到更好方法时才用。81根据解析函数Laurent级数展开式的唯一性,

从已知的初等函数的泰勒级数出发，利用变量替换，泰勒级数和罗朗级数的逐项微分或者积分运算等来求得所给函数f(z)在环域D的罗朗展开式.(2)

间接展开法这一方法成为Laurent级数展开的常用方法。

82例及在内的罗朗展开式。例

在内的罗朗展开式解：此时用sinz

的Taylor展式83例都不解析,而在圆环域及内都解析.84也可以展开成级数：85给定函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式回答：不矛盾

.Laurent展开式是唯一的.问题：这与laurent展开式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性

:指函数在某一个给定的圆环域内的(包括Taylor展开式作为其特例).86四、典型例题例1解由已知函数的展开式可以直接得到87例2

内解析,把

f(z)