专题3、定点定值问题

专题三、解析几何中的定量问题一、定量问题的思想方法思想方法：定量问题包括定点，定值，定角，定直线，定面积等等。小题可以特殊化、极端化猜测得出，大题则一般可以先猜再证。能力要求：（1）会猜——特殊化，极端化（2）会证——①设方程（直线通常为y=kx+b或x=my+n)②联立方程组得关键方程③转化几何条件建立代数关系④利用韦达定理建立等式，统一参数字母⑤求出定量二、定点问题例1、抛物线（1）过原点作两条互相垂直的弦，则直线过定点为OAB解析：小题猜测：根据对称性，定点肯定在x轴上，再取，易得猜测定点证：证明方法很多，这里略举几种，后面的例题通法为主。(一)抛物线类思路1：设直线AB(2字母)OAB代入抛物线得关键方程(2字母)OA⊥OB统一字母(1字母)得定点OAB法1：设思路2：设直线OA，OB(1字母)OAB代入抛物线解得A,B点得直线AB方程(1字母)得定点OAB法2：思路3：设点A，B(4字母)OAB代入抛物线消掉2字母得直线AB方程(2字母)得定点OA⊥OB统一字母(1字母)OAB法3：设规律：直线(曲线)过定点问题实质是方程与动量(变量)无关，这里的变量要合理选取，如斜率、截距、坐标等。在处理过程中，可以统一成一个变量，或统一成某个变量整体结构去解决问题。（2）过任意一点作两条互相垂直的弦，则直线过定点为解析：小题猜测：极端性，当水平时此时在无穷远处，，直线所以定点纵坐标为OABP当竖直时，设为，代入抛物线方程，猜测定点为思路1：设直线点PA，PB(1字母)代入抛物线得A,B坐标得直线AB方程(1字母)得定点OABP法1：OABP思路1：设点A，B(4字母)代入抛物线消掉2字母得直线AB方程(2字母)得定点PA⊥PB统一字母(1字母)OABP法1：OABP思路2：设直线AB(2字母)代入抛物线得关键方程k1k2=-1统一字母代直线AB方程(1字母）得定点OABP法2：解析：小题猜测：极端性，当水平时，此时，所以定点纵坐标为1、过原点作抛物线两条弦，倾斜角分别为，(1)若，则直线过定点为当时，，所以定点为的交点。跟踪练习证：设(2)若，则直线过定点为解析：，证明思路：注意无意义，则(3)若，则直线过定点为证：设②

①(4)过准线上任意一点作两条切线，切点为，则直线过定点为解析：，特殊化猜测。证：设OABP2、已知抛物线方程为，过点作抛物线的两条弦，且斜率为满足，则直线过定点的坐标为

OM(1,2)FE思路1：设直线ME(1字母)代入抛物线得E点OM(1,2)FE类比得F点得直线EF方程(1字母）得定点解析：法1：方程有一根为2，由韦达定理得另一根为思路2：设直线EF(2字母),点M,N(4字母)代入抛物线得关键方程OM(1,2)FEk1k2=1统一字母代直线EF方程(1字母）得定点法2：例3、椭圆（1）以左顶点

为直角顶点的的顶点都在椭圆上，则斜边过定点AMN(二)椭圆类思路1：特殊化取AM:y=x+2代入椭圆得M,N坐标(1字母)得直线AB方程(1字母)猜测得定点坐标再证明AMN解析：思路2：设直线MN(2字母)代入椭圆得关键方程(2字母)得直线AB方程(1字母)得定点AM⊥AN统一字母(1字母)AMN解析：（2）设

，为椭圆上关于轴对称的任意两点，交椭圆另一点于，则直线过定点PMNE思路：设点M,N,E(4字母)，直线PN方程x=my+4(1字母)得直线ME方程(1字母)得定点直线PN与椭圆联立(3字母可统一成1个)P(4,0)M(x1,-y1)N(x1,y1)E(x2,y2)N,E,P在直线PN上(3字母y1,y2,m)解析：当M,N重合，则ME:x=0，所以定点纵坐标为0P(4,0)M(x1,-y1)N(x1,y1)E(x2,y2)例4、若存在一个定点，对于圆上任意一点使得为定值，则该定值为，定点的坐标为A(-2,0)M(x,y)B(m,n)思路1：设点M,B(4字母)，定值(1字母)得定值，定点x,y系数,常数为0代入等式恒成立A(-2,0)M(x,y)B(m,n)解析1：设B(m,n)，M(x,y)，对圆上任意点M(x,y)恒成立思路2：取M特殊点，猜测出B点位置证明定点对任意M恒成立A(-2,0)M(x,y)B(m,n)解析2：不妨取M1(0,1)，M2(0,-1)又取M3(-1,0)，M4(1,0)例5、椭圆，过作直线l交椭圆于，若存在一个定点，使得恒成立，则点坐标为解析：当l水平时，则|BN|=|BM|，所以B只可能在y轴上，设B(0,t)当l竖直时，则，则BA为角MBN的角平分线取下证对任意直线l都适合例6、椭圆的左右顶点分别为，分别交椭圆于其中，则直线过定点解析：直线TMA:直线TBN:分别与椭圆方程联立，同时考虑到T(9,m)MNBADO法1：当时，直线MN:令解得当时，直线MN:所以直线MN必过定点(1,0)当时，法2：当时，直线MN:，过D(1,0)点所以直线MN必过定点(1,0)例7、椭圆的，过右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，设点是点关于轴的对称点，求一定点，使得三点共线，则点的坐标为A(x1,y1)C(x1,-y1)F(2，0)ONB(x2,t2)解析：根据对称性，知N必在x轴上，设N(t,0)斜率分别为且1、已知椭圆，过点作椭圆的两条弦，又两弦的中点分别为求证：直线过定点，并求出定点坐标。答案：跟踪练习解析：2、已知点A(-1,0)，B(1,-1)和抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q.（1）证明：

为定值；

（2）若△POM的面积为

，求向量

与

的夹角；

（3）证明直线PQ恒过一个定点。

答案：解析(1)(2)(3)由(1)3、已知椭圆上下顶点分别为设直线斜率分别为在椭圆上且异于与直线分别交于（1）求证：为定值；（2）当运动时，以为直径的圆是否过定点？并证明。答案：解析(1)(2)三、定值问题例题分析例1、抛物线，动直线过点，交抛物线于，且原点为中点求证：为定值。OABNM(a,0)l解析：小题猜测：特殊化，当竖直时，显然证：设分子注意：此题可以有多种问法，如例2、不为原点的点

在抛物线上，过P作斜率相反的两条弦PE,PF。求证：EF斜率为定值。OPEF解析：猜测：极端化，当E,F重合时，EF为切线，所以定值为P关于x轴对称点处的切线斜率。即为P处切线斜率的相反数推广：椭圆，双曲线，圆都有类似性质。证法1：OPEF类比得到所以证法2：OPEF例3、A为抛物线上一动点,B(4,0)，是否存在垂直于x轴的定直线l被AB为直径的圆截得的弦长为定值？有则求出定直线和定值，无则说明理由。OABCDEFL:x=m解析：假设存在满足条件的直线l:x=m例4、已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1的直线过右焦点交椭圆于A,B，与共线。（1）求椭圆离心率e;（2）设M为椭圆上任意一点，且求证：为定值。解析(1)解析(2)探寻定值，特殊化，若M=A，则证：例5、过椭圆右焦点F的弦AB求证：为定值;FOAB解析:特殊化易得定值法1：普通方程法2：直线参数方程法3：椭圆极坐标方程例6、过椭圆右焦点F的弦AB在x轴上是否存在一个定点M(a,0)，使得为定值，有则求出，无则说明理由。解析:FOABM(t,0)跟踪练习1、椭圆，过作斜率相反的两条弦求证：EF斜率为定值。PEF答案：解析：略2、动圆过点P(2,0),且M在抛物线上，圆M被y轴截得的弦长|AB|为定值，求出该定值和抛物线方程。答案：解析：设M(a,b)OM(a,b)P(2,0)BA3、椭圆，过的直线l与椭圆交于A,B，与直线x=-4交于E，求证：为定值。QOABEl答案：0解析:QOABEl4、椭圆中心,在椭圆上求证：(1)为定值；(2)

为定值。dOAB答案:(1)解析(1)设普通坐标运算复杂，考虑极坐标解析(2)dOAB四、定直线问题例题分析例1、椭圆左右顶点分别为A,B，直线

与椭圆交于P,Q，AP与BQ交于S。求证：变化时，求证S在一定直线上。POABQS解析:法1：P(x1,y1)OA(-2,0)B(2,0)Q(x2,y2)SP(x1,y1)OA(-2,0)B(2,0)Q(x2,y2)S法2：