等腰三角形 课件人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册第3节

等腰三角形第1课时等腰三角形第十三章轴对称如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ABC导入新知剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.ABC1.了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.2.探索并掌握等腰三角形的性质，并用以解决实际问题.学习目标剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段：AB与AC，BD与CD；重合的角：∠BAD与∠CAD，

∠B与∠C，

∠ADB与∠ADC.ACBD由得出的重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？试试说出你的猜想.合作探究ACBD重合的线段：AB与AC，BD与CD；重合的角：∠BAD与∠CAD，

∠B与∠C，∠ADB与∠ADC.等腰三角形的两个底角相等.折痕AD既是∠BAC的平分线，又是底边BC的中线，也是底边BC的高.在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请试试折叠，此时猜想仍然成立吗？等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.几何语言：如图，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C.ABC新知等腰三角形的性质应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中.证明：作底边BC的中线AD．在△ABD和△ACD中，AB=AC，

BD=CD，

AD=AD，∴△ABD

≌△ACD(SSS)．∴∠B=∠C．ABCD已知：△ABC

中，AB=AC．求证：∠B=∠C.等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.几何语言：如图，在△ABC中，①∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，BD=CD.②∵AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC

，BD=CD.③∵AB=AC，BD=CD，

∴AD平分∠BAC，AD⊥BC.BCDA如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，BD=CD.BCDA证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.

AB=AC，在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD，∠ADB=∠ADC.

∵∠ADB+∠ADC=180°，∴AD⊥BC.

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线，求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC.BCDA证明：∵AD是底边BC的中线，∴BD=CD.AB=AC，

在△ABD和△ACD中，BD=CD，

AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.∵∠ADB+∠ADC=180°，∴AD⊥BC.

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的高，求证：AD平分∠BAC，BD=CD.BCDA证明：∵AD是底边BC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

.（1）“三线合一”的性质应用非常广泛，可以用来证明角相等、线段相等或线段垂直.（2）等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.1.（2020·福建中考）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于（）A.10 B.5 C.4 D.3BCDAB由“三线合一”，可知CD=BD巩固新知2.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.60°解：∵AB=AC，D为BC的中点，

∴∠B=∠C，AD⊥BC.

∵∠B=90°-∠BAD=55°,

∴∠C=55°.C1．【2020·临沂】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝(

)A．40°B．50°C．60°D．70°D课堂练习2．【2020·自贡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(

)A．50°B．40°C．30°D．20°D3．【2020·黄冈】已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝________度．404．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝(

)A．90°B．100°C．105°D．110°B5．【2020·青海】等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(

)A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°D6．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°.思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．7．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．(1)如图，在△ABC中，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.若AB＝EC，求证：AE是△ABC的一条特异线．证明：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形．∵AB＝EC，∴AB＝AE，即△EAB是等腰三角形．∴AE是△ABC的一条特异线．(2)若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B

为钝角，画出其中一种情况的图形，

并求出∠B的度数．解：任选其中一种情况即可．如图①，当BD是特异线时，若AB＝BD＝DC，若AD＝DB，DC＝CB(或DC＝BD，BD＝CB)，则∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝30°＋60°＝90°(不合题意，舍去)．

如图②，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，设∠CAD＝x°，∴∠C＝x°，∠DAB＝∠ADB＝2x°.∴x°＋2x°＝30°，解得x＝10.∴∠DAB＝20°.则∠ABC＝180°－20°－20°＝140°.综上所述，符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.等腰三角形定义性质有两边相等的三角形等边对等角三线合一归纳新知D课后练习2．【2020·福建】如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(

)

A．10

B．5C．4D．3B3．【教材P75探究变式】如图，将一张长方形纸按图中虚线AD对折，再沿直线l剪开，再把它展开后得到△ABC，则下列结论错误的是(

)A．AD⊥BCB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．AB＝CBD4．【2020·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是(

)A．25°B．20°C．30°D．15°D

5．如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE的中点．若∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为(

)A．60°B．63°C．67°D．70°C6．【2020·衡阳】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证DE＝DF；(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．解：连接AD.由(1)可知AD平分∠BAC.由“AAS”可证△ABD≌△ACD，∴AB＝AC.∴AD⊥BC.∴∠BAD＋∠B＝∠BDE＋∠B＝90°.∴∠BAD＝∠BDE＝40°.∴∠BAC＝2∠BAD＝80°.7．【2020·重庆】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°.∵∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°.(2)若点E在边