【优化方案】高三数学一轮复习 第5章5.3等比数列课件 文 北师大

§5.3等比数列

§5.3等比数列考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．等比数列的相关概念及公式相关名词等比数列{an}的相关概念及公式定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比．同一个常数相关名词等比数列{an}的相关概念及公式通项公式an＝_______等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成________，那么称G为a、b的等比中项，且有G＝________.前n项和公式

Sn＝

_________________________a1qn－1等比数列思考感悟1．b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.2．等比数列的性质(1)等比数列{an}满足________________时，{an}是递增数列；满足_________________时，{an}是递减数列．(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积____．特别地，若项数为奇数时，还等于______的平方．(3)对任意正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则___________.特别地，若m＋n＝2p，则________.相等中间项am·an＝ap·aqa＝am·an思考感悟2．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝aqn＋b(a，b∈R)，{an}是等比数列，则a，b满足的条件是什么？课前热身1．在等比数列{an}中，a5＝3，则a3·a7等于(

)A．3

B．6C．9 D．18答案：C2．(2011年南阳调研)设a1＝2，数列{an＋1}是以3为公比的等比数列，则a4的值为(

)A．80 B．81C．54 D．53答案：A3．(2010年高考重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为(

)A．2 B．3C．4 D．8答案：A4．(教材习题改编)设{an}是等比数列，a1＝2，a8＝256，则a2＋a3＝________.答案：125．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则Sn＝________.答案：2n－1考点探究•挑战高考考点突破考点一等比数列的判定及证明证明一个个数列是是等比数数列的方方法主要要有两种种：一是是利用等等比数列列的定义义，即证证明＝q(q≠0，n∈N＋)；二是利利用等比比中项法法，即证证明a＝anan＋2≠0(n∈N＋)．在解题题中，要要注意根根据欲证证明的问问题，对对给出的的条件式式进行合合理地变变形整理理，构造造出符合合等比数数列定义义式的形形式，从从而证明明结论．．判断一一个数列列不是等等比数列列只需举举出一个个反例即即可．例1(2009年高考全全国卷Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：：数列{bn}是等比数数列；(2)求数列{an}的通项公公式．【思路点拨拨】本题第(1)问将an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以以得到an的递推式式，再由由bn＝an＋1－2an代入即证证；第(2)问将bn的通项公公式代入入bn＝an＋1－2an，可得an的递推式式，再依依照题型型模式求求解即可可．【解】(1)证明：由由已知有有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．．考点二等比数列中基本量的计算等比数列基本本量的计算是是等比数列中中的一类基本本问题，解决决此类问题的的关键是熟练练掌握等比数数列的有关公公式，并灵活活运用，在运运算过程中，，还应善于运运用整体代换换思想简化运运算的过程．．尤其要注意意的是，在使使用等比数列列的前n项和公式时，，应根据公比比q的情况进行分分类讨论．例2(1)(2A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1C．(－2)n D．－(－2)n(2)(2010年高考辽宁卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(

)A．3 B．4C．5 D．6【思路点拨】根据题意，建建立关于首项项a1和公比q的方程组求解解．【答案】(1)A(2)B(3)B【名师点评】等比数列中有有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程程(组)求解．变式训练1数列{an}中，a1＝1，a2＝2，数列{an·an＋1}是公比为q(q>0)的等比数列列．(1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3(n∈N＋)成立的q的取值范围围；(2)若bn＝a2n－1＋a2n(n∈N＋)，求{bn}的通项公式式．考点三等比数列的前n项和及其性质等比数列的的性质可以以分为三类类：一是通通项公式的的变形，二二是等比中中项的变形形，三是前前n项和公式的的变形，根根据题目条条件，认真真分析，发发现具体的的变化特征征即可找出出解决问题题的突破口口．例3(2011年南阳调研研)在等比数列列{an}中，a1最小，且a1＋an＝66，a2·an－1＝128，前n项和Sn＝126，(1)求公公比比q；(2)求n.【思路路点点拨拨】根据据等等比比数数列列的的性性质质，，a2·an－1＝a1·an，由由此此可可得得关关于于a1、an的方方程程，，结结合合Sn＝126可求求得得q和n.考点四等比数列的综合问题在解解决决等等差差、、等等比比数数列列的的综综合合题题时时，，重重点点在在于于读读懂懂题题意意，，而而正正确确利利用用等等差差、、等等比比数数列列的的定定义义、、通通项项公公式式及及前前n项和和公公式式是是解解决决问问题题的的关关键键．．例4【思路路点点拨拨】对于于(1)，根根据据an与Sn的关关系系可可求求得得k的值值，，从从而而得得到到{an}的通通项项公公式式；；对对于于(2)，可可先先求求出出{bn}的通通项项公公式式，，然然后后用用错错位位相相减减法法求求出出Tn，再再结结合合Tn的单单调调性性证证明明不不等等式式．．【失误误点点评评】本题题易易弄弄不不清清“错位位相相减减”的项项数数而而致致使使解解答答错错误误．．解：：(1)因为为对对任任意意的的n∈N＋，点点(n，Sn)均在在函函数数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为为常常数数)的图图像像上上．．所所以以得得Sn＝bn＋r，当n＝1时，，a1＝S1＝b＋r，当n≥2时，，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因为{an}为等比数列，，所以r＝－1，公比为b，所以an＝(b－1)bn－1，方法感悟方法技巧2．方程观点以以及基本量(首项和公比a1，q)思想仍然是求求解等比数列列问题的基本本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知知三求二．(如例2)3．等比数列的的性质是等比比数列的定义义、通项公式式以及前n项和公式等基基础知识的推推广与变形，，熟练掌握和和灵活应用这这些性质可以以有效、方便便、快捷地解解决许多等比比数列问题．．(如例3)4．解决等比数数列的综合问问题时，首先先要深刻理解解等比数列的的定义，能够够用定义法或或等比中项法法判断或证明明一个数列是是等比数列；；其次要熟练练掌握等比数数列的通项公公式与前n项和公式，能能够用基本量量方法和等比比数列的性质质解决有关问问题．(如例4)5．Sn＋m＝Sn＋qnSm.失误防范1．把等比数列列与等差数列列的概念和性性质进行类比比，可以加深深理解，提高高记忆效率．．注意三点：：(1)等比数列的任任何一项都不不能为0，公比也不为为0；(2)等比数列前n项和公式在q＝1和q≠1的情况下是不不同的；(3)等比数列可看看作是比等差差数列高一级级的运算，一般等差数列列中的“和”、“差”、“积”形式类比到等等比数列中就就变成“积”、“商”、“幂”的形式．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即即断言{an}为等比数列，，还要验证a1≠0.考情分析考向瞭望•把脉高考等比数列是每每年高考必考考的知识点之之一，考查重重点是等比数数列的定义、、通项公式、、性质、前n项和公式，题题型既有选择择题、填空题题，也有解答答题，难度中中等偏高．客客观题主要考考查对基本运运算，基本概概念的掌握程度；；主观题考查查较为全面，，在考查基本本运算，基本本概念的基础础上，又注重重考查函数与与方程、等价价转化等思想想方法．预测2012年高考，等比比数列的定义义、性质、通通项公式、前前n项和公式仍是是考查重点，，应特别重视视等比数列性性质的应用．．规范解答例(本题满满分12分)(2010年高考考四川川卷)已知等等差数数列{an}的前3项和为为6，前8项和为