北师大版九年级数学上册第四章：相似图形 期末复习讲义

相似图形复习考点一比例线段一．比例线段四条线段中如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称为比例线段。四条线段a、b、c、成例，可记作

acb

或

a:

，其中a、叫比例外项，、c叫比例内项，d叫a、、的四比例项。如果比例内项是两条相同的线段，即二．比例的性质：

a或a:bcbc

，那么叫a、的例中项若

acb

，则ad=bc，反之也成立，这是例的基本性质。反比性质

若，则。合比性质

若

acc，则bb等比性质

若

，则acbfbf

（其中

f

典型例例1比线段：1．已知

ab

≠，下列各式中正确的是（）A、

amb

B、

am3a3mC、D、b2．若a=，b=3，，c、b、的四例项是（）A．

62

B．

6

C．

3

D．．已知线段a:b=3:2，线段b是a,c的比例中项，那么等于（）A．3:2B．2:3C．4:3．3:4．若3x-5y=0，则(x－y)：(x＋y)=。．若x:y:z=2：：，3x－＋2z=32，x=，，z=。6如果线段

5bca则如果≠则924b1

=。2E2E已知abc是的边且－c)(a＋(c－b)=3152则bc=。．2，，10的四比例项为若段x，x，x的四比例项是4，则=。9．已知线段a、b、、成比。求证

aa）ac考点二黄金分割三．点C把段分成两条线和，如AC是线AB和BC的比例中项，那么就称线ABAC点C黄金分割，是段B的金分割点。

，即

整个线段较长线段

较长线段较短线段5如果两条线段的比等于值

，那么就称这两条线段的比是黄金比。☆“黄金分割”是指一条线段分成两部分，其较长部分与整部分的比值为☆黄金分割点的作法：

52

。D①过B作BD⊥，BD=

AB

·②连结AD，在AD上取DE=DB③在AB上截取AC=AE

A

·C

B点C就是所示黄金分割点。☆黄金矩形：称宽与长之比为黄金比的矩形为黄金矩形。典型例例2黄分割：1．把10cm长的线段进行黄金分，则较长线段的长（精确到0.01）（）A．3.82B．6.18C．3.09．7.002．已知线段a=1，

352

，那么、的例中项为（）A．

55B．22

C．

5D．2223．点在段AB上AM·MB。如果MB=2，么AM应（）A．

5

B．

1

C．

5

D．

4．把长度为4m的铝材料按黄金分割切断后，其中较短的一段长度是（）A．

25B．5m．35．5知点是线AB的黄金分割点，AB

5CBCB，=_________2ACAB考点三平行线分线成比例理四平线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论平于三角形一边的直线其他两边两边的延长线的对应线段成比例。③如：A

A

DAD

B

CB

D

E

B

C∵DE∥∴

AEADAB,,ABDBECBD④平行于三角形一边且两相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。D

A

E

∵DE∥AEDE∴ABBCB

C典型例例型和X型：1．如图所示eq\o\ac(□,)ABCD中E是BC上一点BE：EC=2，AE交BD于F，则BF：等于多少？

A

DFBE

C32．如图所示，四边形PQRS为菱形PE=6，PF=5，则菱形边长为多少？QE

R

F3图形中∥角线AC相交∥交BD延线于EOB=6，OD=3，DE。EA

DOB4．已知：平行四边形ABCD中，DF交AB于E交CB延长于F，求证：·＝·

C5．已：如图，四边形ABCD中B=∠D=90MAC上点⊥于E，⊥于F6．如图，D为AB中，为AC上一，的延线交BC的长线于F。求证：

AD4

B

ECF考点四相似图形五．①形相同的图形是相似形相似多边形对应角相等对应边成比例的两个多边形称为相似多边形应的比称为相似比。相似三角形对应角相等对边成比例的三角形称为相似三角形似三角形的对应中线，对应高线，对应角平分线之比等于相似比。相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。例4相图形：1．△与eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC且似比为的相似比为（）

25，△ABC∽△AB且相似比为，eq\o\ac(△,则)与eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)3558A．B．C．或D．66152．如图，若点D为ABC中AB边上一点，且ABC=∠ACDAD=3cm，，则AC的长为）

D

AA．12cmB．3cmC．3cmD．2cm

B

C3．△的边之比为2:5:6，其相似的另一个eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的大边为18cm，么它的最小边长为。4．△ABC的边长分别是3、、，与其相似的eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的长边为15，那么

C

=。

5．如图，平分ABC，且AB=4BC=6，则当BD=时△∽△。6．如图，在△ABC中，D、E分别为ACAB上的，且∠ADE=∠，，，ADAC=。

DC

B

E

A

DC考点五相似三角形六．相似三角形的判定两角对应相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。例5相三角形的判定：1．如图，eq\o\ac(△,Rt)中，∠C=90°，四边形是正方形，求证：EF=AE·BFCDG5

A

E

B2．如图所示，在ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC，DEBC交AB于E，EC与AD相交于F点）求证：ABC∽△FCD若=5，BC=10求DE之长。eq\o\ac(△,S)3．已如eq\o\ac(△,，)∠C=90D为BC上一点连DA在ABC的外作∠BAE=∠DAC，BE⊥AB，⊥交CB延线于F。求证DC=BF4．已：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平线AD的垂平分线交AD于E，交BC的延长线于F。求证FD=FB·FC5．已知如图，的AD、BE相于点F，连结ED求证eq\o\ac(△,：)CAB∽△CDE。AEB

FD

C6考点六综合例6典综合题：1．已知：

akb

，求k的。2．若

3b34，，，则42d5b

等于多少？3．已知：如图，正方形DEFG内于△ABC，AM于M交DG于NBC=18AM=12。正方形边长4所示eq\o\ac(△,，)中AB=AC为CB延长线上一点BC延长线上一点AB（）证：△ADB∽△EAC；（）∠BAC=40°求EAD大小。AD5．已：如图，eq\o\ac(△,在)中，为中线，为AB一点CF交AD于E