《高考风向标》年高考数学一轮复习 第四章 第4讲 导数的实际应用精品课件 理

第4讲导数的实际应用利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是垂直，则a＝()DA．2B.12C．－12D．－2

2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，为使行驶每公里的费用总和最小，则此轮船的航行速度为()CA．10公里/小时C．20公里/小时B．15公里/小时 D．25公里/小时，＝0，得x＝8，x3．做一个容积为256升的底面为正方形的长方体无盖水箱，则它的高为()分米时，材料最省．()DA．1B．2C．3D．4解析：设长方体无盖水箱的底面边长为x分米，高为h分米，则x2h＝256，全面积S＝x2＋4xh＝x2＋1024

x∴S′＝2x－1024

2

∴h＝4，由本题的实际意义可知当高为4分米时，材料最省．直，则a＝_____.2

4．设曲线y＝eax

在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂

5．设有一长为8cm，宽为5cm的矩形铁片．在每个角上剪去同样大小的正方形，则剪去的正方形的边长_____时，才能使剩下的铁片折起来做成无盖盒子的容积最大．1cm考点1函数模型中的最优化问题

例1：某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，故需新建9个桥墩才能使最小． 而运用导数知识，求复合函数的最值．x3

－【互动探究】

1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝

1128000

380x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升．令h′(x)＝0，得得x＝80.当x∈(0,80)时，，h′(x)＜0，h(x)是减减函数数；当x∈(80,120)时，，h′(x)＞0，h(x)是增增函数数．∴当x＝80时时，h(x)取到到极小小值h(80)＝＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只只有一一个极极值，，所以以它是是最小小值．．答：当当汽车车以80千千米/小时时的速速度匀匀速行行驶时时，从从甲地地到乙乙地耗油油最少少为11.25升升．．考点2几何模模型的的最优优化问问题例2：如图4－4－1某某地有有三家家工厂厂，分分别位位于矩矩形ABCD的顶点点A、B及CD的中点点P处，已已知AB＝20km，，CB＝10km，，Q为AB中点，，为了了处理理三家家工厂厂的污污水，，现要要在矩矩形ABCD的区域上上(含含边界界)，，且A、B与等距距离的的一点点O处建造造一个个污水水处理理厂，并并铺设设排污污管道道AO、BO、OP，设排污管管道的总长长为ykm.图4－4－1(1)按下下列要求写写出函数关关系式：①设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系系式；②设OP＝x(km)，，将y表示成x的函数关系系式．(2)请你你选用(1)中的一一个函数关关系式，确确定污水处处理厂的位位置，使三条条排污管道道总长度最最短．【互动探究究】2．用长为为18m的钢钢条围成一一个长方体体形状的框框架，要求求长方体的长长与宽之比比为2∶∶1，问该该长方体的的长、宽、、高各为多多少时，其体体积最大？？最大体积积是多少？？错源：复合合函数计算算错误例3：在长为100千千米的铁路路线AB旁的C处有一个工工厂，工厂与铁路路的距离CA为20千千米．由由铁路上的的B处向工厂提提供原料，公路路与铁路每每吨千米的的货物运价价比为5∶3，为为节约运费费，在铁路的D处修一货物物转运站，，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条条公路(如如图4－－4－2).(1)将每每吨货物运运费y(元)表示示成x的函数．(2)当x为何值时运运费最省？？图4－4－2误解分析：：忽略模型是是复合函数数，导致计计算错误．．纠错反思：：这是一道实实际生活中中的优化问问题，建立立的目标函数是一个个复合函数数，故在计计算导数过过程中要用用复合函数数的求导法则．例4：今有一块边长a的正三角形形的厚纸，，从这块厚厚纸的三个角，按如如图4－－4－3那那样切下下三个全等等的四边形形后，做成成一个无盖的的盒子，，要使这这个盒子子容积最最大，则则x＝________.图4－－4－3【互动探探究】3．水以以20米3/分的速速度流入入一圆锥锥形容器器，设容容器深30米，上底底直径12米米，试试求当水水深10米米时，水水面上升升的速度度为()图4－－4－4A导数的实实际应用用：(1)利利用导数数解决生生活中的的优化问问题的一一般步骤骤：优化问题题可归结结为函数数的最值值问题，，从而可可用导数数来解决决．①分析实实际问题题中各量量之间的的关系，，列出实实际问题题的数学学模型，写写出实际际问题中中变量之之间的函函数关系系y＝问题归结为函数最值问题；②求导数数f′(x)，解方方程f′(x)＝0；；③比较函函数在区区间端点点和使f′(x)＝0的的点的的函数值值大小，，最大者为为最大值值，最小小者为最最小值；；④检验作作答，即即获得优优化问题题的答案案．(2)利利用导数数解决生生活中的的优化问问题的注注意事项项：①在解决决实际优优化问题题时，不不仅要将将问题中中涉及的的变量关关系用函数数表示，，而且应应注意确确定该函函数的定定义域；；②在实际际优化问问题中，，会遇到到函数在在定义域域内只有有一个点点使f′(x)＝0的的情形形，如果果函数f(x)在这点点有极值值，则该该极值就就是所求的的最大(小)值值；③在求实际问问题的最大(小)值时，，一定要考虑虑实际问题的意义，不符合实实际意义的解解应舍去．将一张2m×6m的硬钢板板按图纸的要要求进行操作作，如图4－