《高考风向标》年高考数学一轮复习 第四章 第2讲 导数在研究函数中的应用精品课件 理

第2讲导数在研究函数中的应用

1．函数的单调性与导数的关系

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内__________；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内_____________.单调递增单调递减

2．判别f(x0)是极大、极小值的方法

若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的______点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的______，f(x0)是_______．极大值极小值极小值)D1．函数f(x)＝x3－3x2＋1是减函数的区间为(A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－∞，0) D．(0,2)2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝()DA．2B．3C．4D．53．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在区间[0,3]上最大值与最小值分别()AA．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16A

解析：y′＝ex＋xex＋2，斜率k＝e0＋0＋2＝3，所以，y－1＝3x，即y＝3x＋1.考点1讨论函数的单调性

例1：设函数

f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a、b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点．

y＝3x＋15．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_________.解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值． 解析：(1)f′(x)＝3x2－3a， ∵曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，

(2)∵f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 当a＜0时，f′(x)＞0， 函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．

当x∈(－∞，－a)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增， 当x∈(－a，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，

∴此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．

本题出错最多的就是将(1)中结论a＝4用到(2)中．【互动探究】

1．设函数f(x)＝xekx

(k≠0)． (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围． 考点2导数与函数的极值和最大(小)值

例2：设函数

f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值． (1)求a、b的值； (2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9，因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．【互动探究】考点3构造函数来来证明不等等式例3：已知函数f(x)是(0，，＋∞)上上的可导函函数，若xf′(x)>f(x)在x>0时恒恒成立．(2)求证证：当x1>0，x2>0时，，有f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．所以函数g(x)＝因为xf′(x)>f(x)，所以g′(x)>0在在x>0时恒恒成立，f(x)x在(0，＋＋∞)上是是增函数．．(2)由(1)知函函数g(x)＝f(x)x在(0，＋＋∞)上是是增函数，，所以当x1>0，x2>0时，，两式相加得得f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．≤ln(x＋1)≤x.－1＝－x＋1【互动探究究】3．已知函函数f(x)＝ln(x＋1)－x.(1)求函函数f(x)的单调递递减区间；；(2)若x＞－1，证证明：1－－1x＋1(1)解：函数f(x)的定义域域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1x＋1x.由f′(x)＜0及及x＞－1，得得x＞0.所以当x∈(0，＋＋∞)时，，f(x)是减函数数，即f(x)的单调递递减区间是是(0，＋＋∞)．(2)证明：由(1)知知，当x∈(－1,0)时，，f′(x)＞0；当x∈(0，＋＋∞)时，，f′(x)＜0.因此，当x＞－1时时，f(x)≤f(0)，即即ln(x＋1)－x≤0，－1，－.x＋1所以以ln(x＋1)≤≤x.令g(x)＝＝ln(x＋1)＋＋1x＋1则g′(x)＝＝11x＋1(x＋1)＝2x(x2当x∈(－－1,0)时，，g′(x)＜0；当当x∈(0，＋＋∞)时，，g′(x)＞0.所以当当x＞－1时时，g(x)≥g(0)，即ln(x＋1)＋1x＋1－1≥≥0，，ln(x＋1)≥1－1.综上可可知，，若x＞－1，则则1－1x＋1≤ln(x＋1)≤x.错源：f′(x0)＝0是f(x0)为极值的必必要但不充充分条件例4：已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时时有极值0，则m＝_______，，n＝________.误解分析：：对f(x)为极值的的充要条件件理解不清清，导致出出现多解．正解：f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意，f′(－1)＝3－6m＋n＝0，f(－1)＝＝－1＋3m－n＋m2＝0，即x＝－1不不是f(x)的极值点点，应舍去去．故m＝2，n＝9.纠错反思：：f′(x)=0是f(x0)为极值的的必要但不不充分条件件,判断x0不是极值点点需要检查查x0侧f′(x)的符号.如如果左正右右负，那么么f(x0)是函数f(x)的一个极极大值；如如果左负右右正，那么么f(x0)是函数f(x)的一个极小小值；如果果符号相同同，那么f(x0)不是函数数f(x)的极值.此题就没有有讨论在两两种情况下下，f(-1)是是不是为极极值.本题题说明用导数求函数数极值时一一定要判断断某函数值值是不是极极值，要检验验相关区间内导导数的符号号.【互动探究究】4．设f′(x)是函数f(x)的导函数数，y＝f′(x)的图像如如图4－－)C2－1，则则y＝f(x)的图像最最有可能的的是(图4－2－1解析：由导函数的的图像知，，导函数在在x＝0和x＝2时的的导函数值为为0，，故原来来的函数数y＝f(x)在x＝0和和x＝2时时取得极极值．当x≤0或或x≥2时时，导函函数值为为正(或或0)，当0＜x＜2时时，导函函数值为负负，所以以当x≤0或或x≥2时时函数y＝f(x)为增函函数，当当0＜x＜2时时，函数数y＝f(x)为减函函数，故故选项为为C.(1)证证明a>0；(2)若若z＝a＋2b，求z的取值范范围．解析：f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.(1)由由函数f(x)在x＝x1处取得极大值值，在x＝x2处取得极小值，知x1、x2是f′(x)＝0的两两个根．所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．当x<x1时，f(x)为增函数，，f′(x)>0，由x－x1<0，x－x2<0得a>0.(2)在题题设下，0<x1<1<x2<2等价价于图4－2－21．求函数数的极值的的步骤：(1)确定定函数的定定义区间，，求导数f′(x)．(2)求方方程f′(x)＝0的的根．(3)用函函数的导数数为0的的点，顺顺次将函数数的定义区区间分成若若干小开区间间，并列成成表格．检检查f′(x)在方程根根左右的值值的符号，，如果左正右右负，那么么f(x)在这个根根处取得极极大值；如如果左负右右正，那么f(x)在这个根根处取得极极小值；如如果左右不不改变符号号，那么f(x)在这个根处处无极值．．2．求函数数最值的步步骤：(1)求出出f(x)在(a，b)上的的极值值．(2)求出出端点点函数数值f(a)、f(b)．(3)比较较极值值和端端点值值，确确定最最大值值或最最小值值．1．(2010年年佛山山调研研)已已知函函数f(x)＝x2＋ax＋blnx(x>0，，实数a、b为常数数)．．(1)若a＝1，，b＝－1，求求函数数f(x)的极极值；；(2)若a＋b＝－2，讨讨论函函数f(x)的单单调性性．(1)求函函数f(x)为奇奇函数数的充充要条条件；；(2)若任任取a∈[0,4]，，b∈[0,3]，，求函函数f(x)在R上是增增函数数的概率率．所以f(x)为奇奇函数数．故f(x)为奇奇函数数的充充要条条件是是a＝1.(2)因为为f′(x)＝x2－2(a－1)