《走向清华北大》高考总复习 数列求和课件

第三十讲数列求和回归课本1.公式法对于等差数列和等比数列,在求和时可直接套用它们的前n项和公式:①等差数列前n项和公式:Sn=na1+②等比数列前n项和公式:Sn=另外,还有一些常见的求和公式:(1)1+2+3+…+n=(2)1+3+5+…+(2n-1)=n2,(3)12+22+32+…+n2=2.倒序相加法一个数列如果距首末两项等距离的两项和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法.如等差数列前n项和公式的推导.3.错位相减法如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一个因子成公差为d的等差数列,第二个因子成公比为q的等比数列,可将此数列前n项的和乘以公比q,然后错项相减从而求出Sn.4.拆项分组法把不能直接求和的数列分解成几个可以求和的数列,分别求和.5.裂项相消法把数列的每一项变为两数之差,以便大部分项能“正”､“负”相消,只剩下有限的几项.裂项时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些项,常用的裂项公式为:6.并项转化法有时候把两项并成一项考虑,也可以实现我们的转化目的.通常适用于数列中各项的符号是正负间隔的情况.考点陪练答案:A2.已知an=(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则使Sn>0的n的最小值值为()A.10B.11C.12D.13答案:B3.首项为2,公比为3的等比数数列,从第n项到第N项的和为为720,则n,N的值分别别为( )A.2,6B.2,7C.3,6D.3,7解析:由题意知知SN-Sn-1=720,代入得解得n=3,N=6,故选C.答案:C答案:B5.(2010·黄冈中学学月考题题)化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是是( )A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2C.2n-n-2D.2n+1-n-2解析:将Sn两边同时时乘以2,可以得到到:2Sn=2n+(n-1)××22+(n-2)××23+…+2×2n-1+2n,与Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1两边同时时相减可可得到2Sn-Sn=-n+(2+22+23+…+2n-1)+2n=-n++2n,∴Sn=-n+2n-2+2n=2n+1-n-2.故选D.答案:D类型一公公式法法求和解题准备备:如果数列列是等差差数列或或等比数数列等特特殊数列列时,直接应用用求和公公式求解解.[解]当n为奇数时时,奇数项组组成以a1=1为首项,公差为12的等差数数列,偶数项组组成以a2=4为首项,公比为4的等比数数列.类型二分分组转转化法求求和解题准备备:1.有一类数数列,既不是等等差数列列,也不是等等比数列列,但若把数数列的每每一项分分成多个个项或把把数列的的项重新新组合,就能转化化为等差差数列或或等比数数列.从而可以以利用等等差、等等比数列列的求和和公式解解决.这种求和和方法叫叫分组转转化法.2.此类问题题求解的的关键是是要分析析研究数数列的通通项公式式.[反思感悟悟]有一类数数列,既不是等等差数列列,也不是等等比数列列.若将这类类数列适适当拆开开,可分为几几个等差差､等比或常常见的数数列,即能分别别求和,然后再合合并.类型三裂裂项相相消法求求和解题准备备:1.裂项相消消法是分分解与组组合思想想在数列列求和中中的具体体应用,其实质是是将数列列中的某某些项分分解,然后重新新组合,使之能消消去一些些项,最终达到到求和的的目的.2.数列中的的每一项项均能分分裂成一一正一负负两项,这是裂项项相消法法使用的的前提,一般地,形如(其中{an}是等差数数列)的数列可可尝试采采用此法法.常用的裂裂项技巧巧有:[分析]准确写出出an的表达式式,然后用裂裂项相消消法.类型四错错位相相减法求求和解题准备备:错位相减减法是推推导等比比数列的的前n项和公式式时所用用的方法法,也是数列列求和中中经常用用到的一一种方法法.【典例4】已知数列列{an}是等差数数列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求数列{an}的通项公公式;(2)令bn=anxn(x∈R).求数列{bn}的前n项和公式式.[分析]用错位相相减法解解(2).[解](1)设数列{an}公差为d,则a1+a2+a3=3a1+3d=12,∵a1=2,∴∴d=2,∴an=2n.(2)令Sn=b1+b2+…+bn,则由bn=anxn=2nxn,得Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn.①xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1.②当x≠1时,①减去②,得(1-x)Sn=2(x+x2+…+xn)-2nxn+1=-2nxn+1,∴Sn=错源一思思维定定势,数错项数数[剖析]本题的错错误原因因在于乘乘公比错错位相减减后,中间是n-1项求和,错当成了了n项和,对相减后后的结构构认识不不清楚或或认识模模糊.错源二忽忽略基基本“特征”【典例2】已知两个个等差数数列{an}和{bn}的前n项和为Sn和Tn,且对一切切正整数数n都有试试求的的值.[错解]设Sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k,则a9=S9-S8=(5××9+3)k-(5××8+3)k=5k.b9=T9-T8=(2××9+7)k-(2××8+7)k=2k.因此[剖析]错解忽略略了等差差数列前前n项和公式式的基本本“特征”.其实,等差数列列的前n项和是关关于n的二次函函数,且常数项项为零.[正解]设Sn=(5n+3)nk,Tn=(2n+7)nk,那么,a9=S9-S8=(5××9+3)×9k-(5×8+3)×8k=88k,b9=T9-T8=(2××9+7)×9k-(2×8+7)×8k=41k,因此技法一分分类讨讨论思想想【典例1】定义“等和数列列”:在一个数数列中,如果每一一项与它它的后一一项的和和都为同同一个常常数,那么这个个数列叫叫做等和和数列,这个常数数叫做该该数列的的公和.已知数列列{an}是等和数数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为________;这个数列列的前n项和Sn的计算公公式为________.[解题切入入点]本题重点点考查同同学们在在新情境境下的独独立分析析问题和和解决问问题的能能力.[解析]由定义知知a1+a2=a2+a3=…=a2k-1+a2k=a2k+a2k+1=5.且a1=2,所以a1=a3=…=a2k+1=2,a2=a4=…=a2k=3.所以a18=3.技法二 函数数思想【典例2】若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则此数列的通通项公式为________;数列{nan}中数值最小的的项是第________项.[解析]当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11.①当n=1时,S1=a1=-9,也满足①式.所以an=2n-11.nan=(2n-11)n=2n2-11n.所以n=时,nan最小.由于n∈N*,所以n=3时,使得nan最小.故通项公式为为an=2n-11,数列{nan}中数值最小的的项是第3项.[答