《金新学案》高考数学总复习 9.5空间向量的坐标运算课件 文 大纲人教

第5课时空间向量的坐标运算(9B)1．向量的直角坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝

；②a－b＝

；③λa＝

(λ∈R)；④a·b＝

；(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b32．夹角与距离公式(1)夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，其中dA，B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式．3．平面的法向量(1)向量垂直于平面：如果表示向量a的有向线段所在的直线

平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.(2)平面的法向量：如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．垂直于1．已知向量a＝(－1,1，－1)，b＝(2,0，－3)，则a·b等于(

)A．－5

B．－4C．2D．1答案：

D2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则(

)答案：C3．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(

)A.B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：设D的坐标为(x，y，z)，∵ABCD为平行四边形，答案：

D4．已知平面α和β的法向量分别是(－1,3,4)和(x,1，－2)，若α⊥β，则x＝________.解析：因为α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此(－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即x＝－5.答案：－55．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的射影为________．答案：空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，利用空间向量基本定理可将证明四点共面及直线与平面平行等问题转化为解方程组．

已知A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，求x.解析：∵A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，－5)、P(x，－1,3)，[变式训练]

1.若a＝(1,0,0)，b＝(1,1,0)，c＝(1,1,1)．(1)求证：a，b，c不共面；(2)试用a，b，c表示向量d＝(5,3,6)．解析：(1)证明：假设a，b，c共面，由a，b，c不共线可知，c＝λa＋μb，即(1,1,1)＝λ(1,0,0)＋μ(1,1,0)，涉及利利用向向量平平行或或向量量垂直直的充充要条条件的的主要要题型型有两两个：：一是是已知知向量量中含含有某某个参参数，，要求求我们们来求求参数数的值值；二二是利利用向向量平平行与与垂直直的充充要条条件证证明“线线平平行与与垂直直或线线面平平行与与垂直直”的问题题．[变式训训练]2.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求求λ的值；；(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求求λ的值．．解析：∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．利用直直线的的方向向向量量和平平面的的法向向量，，可以以判定定直线线与直直线，，直线线与平平面，，平面面与平平面的的平行行和垂垂直．．如图，，已知知直三三棱柱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰腰直角角三角角形，，∠BAC＝90°°，且AB＝AA1，D、E、F分别为为B1A、C1C、BC的中点点．(1)求证：：DE∥平面ABC；(2)求证：：B1F⊥平面AEF.证明：如如图建建立空空间直直角坐坐标系系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为为N，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，[变式训训练]3.如图，，在四四棱锥锥P－ABCD中，底底面ABCD是正方方形，，侧棱棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作作EF⊥PB于点F，(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.证明：如图所所示建立空空间直角坐坐标系，D为坐标原点点，设DC＝a.(1)连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.∵底面ABCD是正方形，，∴G是此正方形形的中心，，1．空间任一一点P的坐标的确确定方法：：过P分别作三个个坐标平面面的平行平平面(或垂面)，分别交坐坐标轴于A、B、C三点，当与与i的方向相同同时，x＞0；反之x＜0，同理可确确定y，z的值．2．一个向量量在空间直直角坐标系系中的坐标标等于表示示这个向量量的有向线线段的终点点的坐标减减去起点的的坐标．即若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．3．空间向量量的坐标运运算同平面面向量的坐坐标运算类类似，只是是空间向量量需用唯一一确定的有有序实数组组x，y，z表示示，，实实质质没没有有改改变变．．通过过近近三三年年高高考考试试题题的的统统计计分分析析可可以以看看出出，，有有以以下下的的命命题题规规律律．．1．考考查查热热点点：：空空间间坐坐标标运运算算的的应应用用．．2．考考查查形形式式：：多多以以解解答答题题求求后后两两问问．．3．考考查查角角度度：：一是是对对空空间间坐坐标标运运算算的的单单独独考考查查，，试试题题难难度度较较小小；；二是是利利用用空空间间坐坐标标运运算算求求空空间间角角和和距距离离，，是是整整个个立立体体几几何何命命题题中中热热点点．．4．命命题题趋趋势势：：仍仍以以空空间间几几何何为为载载体体，，体体现现空空间间坐坐标标运运算算的的应应用用．．(12分)(2009·浙江卷卷)如图，，平面面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等等腰直直角三三角形形，E，F，O分别为为PA，PB，AC的中点点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点点，证明FG∥平面BOE；(2)证明在在△ABO内存在在一点点M，使FM⊥平面BOE，并求求点M到OA，OB的距离离．规范解解答：：(1)证明：：如图图，连连结OP，以点点O为坐标标原点点，分分别以以OB，OC，OP所在直直线为为x轴，y轴，z轴建立立空间间直角角坐标标系O－xyz.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)．由题题意意，，得得G(0,4,0)．又直直线线FG不在在平平面面BOE内，，所以以FG∥平面面BOE.6分[阅后后报报告告]本题题解解答答的的难难点点是是如如何何确确定定M的坐坐标标，，再再求求得得M坐标标后后，，易易忽忽略略对对所所求求结结果果进进行行验验证证．．1．(2010·广东东卷卷)若向向量量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满满足足条条件件(c－a)·(2b)＝－－2，则则x＝________.解析析：：∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－－2，∴x＝2.答案案：：22．(2010·湖北北卷卷)如图图，，在在四四面面体体ABOC中，，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°°，且且OA＝OB