《金新学案》高考数学总复习 2.4函数的奇偶性与周期性课件 文 大纲人教

第4课时函数的奇偶性与周期性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是奇函数关于

对称1．函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小1．对任意实数x，下列函数中的奇函数是(

)A．y＝2x－3

B．y＝－3x2C．y＝ln5xD．y＝－|x|cosx解析：若f(x)＝ln5x，则f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1＝－ln5x＝－f(x)．∴函数y＝ln5x为奇函数．答案：C解析：答案：B3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)＝(

)A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：A答案：坐标原点5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.答案：－11．用定义判断(或证明)函数的奇偶性的一般步骤：(1)验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数．(2)证明f(－x)＝±f(x)是否成立．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．解析：(1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．解析：(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．1．对对抽抽象象函函数数解解不不等等式式问问题题，，应应充充分分利利用用函函数数的的单单调调性性，，将将““f””脱掉掉，，转转化化为为我我们们会会求求的的不不等等式式；；2．奇奇偶偶函函数数的的不不等等式式求求解解时时，，要要注注意意到到：：奇奇函函数数在在对对称称的的单单调调区区间间上上有有相相同同的的单单调调性性，，偶偶函函数数在在对对称称的的单单调调区区间间上上有有相相反反的的单单调调性性．．解析析：[变式训练练]2.(1)奇函数f(x)的定义域域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如如图所示示，则不不等式f(x)＜0的解是________．(2)已知函数数y＝f(x)是R上的偶函函数，且且在(－∞，0]上是减函函数，若若f(a)≥f(2)，则实数数a的取值范范围是________．解析：(1)由奇函数数图象对对称性质质补出其其在[－5,0)上的图象象，由图图象知解解集为(－2,0)∪(2,5]．(2)由已知f(x)在[0，＋∞)上为增函函数，且f(a)＝f(|a|)，∴f(a)≥f(2)f(|a|)≥f(2)，∴|a|≥≥2得a≥2或a≤－2.答案：(1)(－2,0)∪(2,5](2)a≤－2或a≥2递推法：：若f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴周期T＝4.换元法：：若f(x＋2)＝f(x－2)，令x＋2＝t，x＝t－2，∴f(t)＝f(t－4)，∴周期期T＝4.设f(x)是定义在在R上的奇函函数，且且对任意意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．解析：(1)证明：∵∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为为4的周期函函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为为4的周期函函数．∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.[变式训练]3.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：∵f(x)是偶函数，∴∴f(－2008)＝f(2008)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2.∴f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1.答案：C1．正确理解奇奇函数和偶函函数的定义，，必须把握好好两个问题：：(1)定义域在数轴轴上关于原点点对称是函数数f(x)为奇函数或偶偶函数的必要要非充分条件件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的的恒等式．2．奇偶函数的的性质(1)奇函数的图象象关于原点成成中心对称图图形，偶函数数的图象关于于y轴成轴对称图图形，反之亦亦真，因此，，也可以利用用函数图象的的对称性去判判断函数的奇奇偶性；(2)奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；(3)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；(4)函数y＝f(x)，当x＝0时有意义，则则f(0)＝0为y＝f(x)是奇函数的必必要条件．因此判断函数数的奇偶性，，一般有三种种方法：①定义法；②②图象法；③③性质法．通过对近三年年高考试题的的统计分析，，可以看出以以下的命题规规律：1．考查热点：：函数的奇偶偶性、周期性性是高考命题题的热点．2．考查形式：：多为选择题题和填空题，，整个命题过过程着眼基础础，突出重点点．3．考查角度：：一是对函数奇奇偶性的考查查，主要涉及及函数奇偶性性的判断，利利用奇偶性函函数图象的特特点解决相关关问题，利用用函数的奇偶偶性求函数值值、参数值等等．二是对函数周周期性的考查查，主要涉及及判断函数的的周期，利用用函数的周期期性求函数值值，以及解决决与周期有关关的函数综合合问题．(2010··全国新课标卷卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝()A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}解析：∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)＞0，得x＞2.又f(x)为偶函数且f(x－2)＞0，∴f(|x－2|)＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0，∴{x|x＜0或x＞4}．答案：B[阅后报告]本题考查了分分段函数求值值问题，解答答本题的难点点是不理解f(f(0))的意义，不知知f(0)是对外层f来说相当于x.考生试求f(f(－1))的值．1．(2010··广东卷)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x.∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数．．又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x－3x.∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数．．答案：B2．(2010·山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3B．1C．－1D．－3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数数，因此f(－x)＋f(x)＝0.当x＝0时，可得f(0)＝0，可得b＝－1，此时f(x)＝2x＋2x－1，因此f(