第一节 向量及其线性运算

1第八章空间解析几何与向量代数几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代数方法研究了几何问题.讨论如下几个问题:1.向量、向量的一些运算;2.空间中的平面与直线;3.空间中的一些曲面和曲线;4.二次曲面.在平面解析几何中,本章把这种方法运用到三维几何空间,曾通过坐标法把二维2第一节向量及其线性运算向量概念向量的线性运算小结思考题作业空间直角坐标系利用坐标作向量的线性运算向量的模方向角3向量既有向量表示模长为1的向量.零向量模长为0的向量.||向量的模向量的大小.单位向量或或或的量.又有大小方向以为起点,为终点的有向线段.一、向量概念向量及其线性运算(vector)(module)4自由向量不考虑起点位置的向量.相等向量大小相等且方向相同的向量.负向量大小相等但方向相反的向量.向量及其线性运算记作5特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在之间任意取值.向量与向量的夹角向量的夹角向量及其线性运算6向量平行向量及其线性运算如果p或0),(=barr，就称向量与向量平行，记作。‖两向量平行，又称两向量共线。7向量垂直向量及其线性运算如果，就称向量与向量垂直，记作。注：零向量与任意向量都平行，也与任意向量都垂直。8加法（平行四边形法则）特殊地若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）(1)加法定义二、向量的线性运算

1.向量的加减法向量及其线性运算9

(2)向量的加法符合下列运算规律交换律结合律减法(3)减法定义向量及其线性运算102.向量与数的乘法(简称数乘运算)注向量向量的“伸缩”向量的乘积规定为同向,反向,为向量.与数的乘积向量及其线性运算11(2)数与向量的乘积符合下列运算规律结合律分配律第一分配律第二分配律线性运算向量及其线性运算由向量

常用数乘运算说明平行,两向量平行关系。12两向量平行关系(两向量共线的充要条件):定理1设向量

∥存在唯一的实数

同方向的单位向量.

记作,0rr¹a向量及其线性运算注：定理1是建立数轴的理论依据。13证充分性显然；必要性‖两式相减，得向量及其线性运算14选择题设向量互相平行,但是方向相反,则当A时,

必有()向量及其线性运算|;|||||)(babaBrrrr->+|;|||||)(babaCrrrr-<+15？下列命题是否正确错,错,(1)没有定义向量的除法.向量不能比较大小,只有模才能比较大小.向量及其线性运算16例化简解向量及其线性运算17例试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证结论得证.∥且向量及其线性运算18上两式相减得：练习

设均为非零向量,其中任意两个向量不共线,但与共线,与共线.证明：证为常数.向量及其线性运算cbrr+19向量及其线性运算由定理1建立数轴给定一个点和一个单位向量就确定一条数轴设点o及单位向量确定数轴ox由定理1，必有唯一实数，使故有，定义：实数ox120横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系,

三个坐标轴的点O叫做坐标原点(或原点)正方向符合右手系即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向.三、空间直角坐标系1.空间点的直角坐标坐标系或坐标系.向量及其线性运算21ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量及其线性运算空间直角坐标系共有八个卦限Ⅶ222.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标称为该向量在三个坐标轴上的分向量坐标分解式23称为点M或向量的坐标,记作称为点M的向径。点M与原点构成的向量故有，定义：24空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点向量及其线性运算25(3)点M(2,-3,1)关于y轴的对称点是().?(1)点M(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是();选择题(2)点M(2,-3,1)关于xOy面的对称点是();(A)(-2,3,-1);(B)(-2,-3,-1);(C)(2,-3,-1);(D)(-2,3,1).ACB向量及其线性运算26向量及其线性运算四、利用坐标作向量的线性运算27由按坐标表示式即为:当分母为零理解为分子也为零.注向量及其线性运算也即向量

与

对应的坐标成比例:

定理设向量

∥存在唯一的实数

,0rr¹a=),,(zyxbbb),,(zyxaaal28向量及其线性运算更一般的情况:29

向量在

轴上的坐标

向量在

轴上的坐标

向量在

轴上的坐标向量及其线性运算30按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标：向量的坐标表达式：向量及其线性运算31解设为直线上的点,oxyzAB向量及其线性运算例已知两点以及实数在直线AB上求点M,使同理,得32五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与空间两点间点的距离由勾股定理向量模的坐标表示式33为空间两点.在直角三角形和中,用勾股定理向量及其线性运算空间两点间距离公式34若两点分别为特殊地向量及其线性运算向径空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.常用表示.空间两点间距离公式35解设P点坐标为所求点为向量及其线性运算例的距离为到的距离的两倍,求点P的坐标.36解原结论成立.向量及其线性运算37非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为非零向量的方向角：向量及其线性运算(directionangle)2.方向角与方向余弦38由图分析可知向量的方向余弦方向余弦向量模长的坐标表示式向量及其线性运算(directioncosine)通常用来表示向量的方向.39当时，向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征特殊地向量及其线性运算=)cos,cos,(cosgba40解已知两点同方向的单位向量。例求与41例已知两点A(2,2,)和B(1,3,0),求的模，方向余弦和方向角。解：42解或所求向量有两个,一个与同向,一个与反向.向量及其线性运算求平行于向量的单位向量例的分解式.43解向量及其线性运算设有向量例已知它与x轴和y轴的夹角分别为如果P1的坐标为(1,0,3),求P2的坐标.设向量的方向角为44向量及其线性运算设P2的坐标为P2的坐标为45空间一点在轴上的投影过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上的投影.向量及其线性运算空间一向量在轴上的投影轴u称为投影轴.已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为那么轴u上的有向线段的值,称为向量在轴u上的投影.3.向量在轴上的投影46Projection在轴u上的向量轴与向量的夹角的余弦：向量在轴u上的投影记为投影性质1投影等于向量的模乘以向量及其线性运算投影有正、注负之分;模只为正值.47（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.向量及其线性运算投影性质2投影性质3注：向量在空间直角坐标系Oxyz中的坐标就是该向量在三条坐标轴上的投影。48向量及其线性运算起点终点向量在x轴上的投影向量在y轴上的投影向量在z轴上的投影按基本单位向量的坐标分解式：向量的坐标表达式：坐标坐标坐标x轴分向量y轴分向量z轴分向量特殊地49例10解50解向量及其线性运算求向量例在x轴上的投影及在y轴上的分向量.在x轴上的投影为在y轴上的分向量为511证例向量及其线性运算uBA21,uuBA坐标依次为、eueurr12-=.)(12euur-=52向量及其线性运算六、小结向量的概念向量的线性运算（注意:与数量的区别与记法）(平行四边形法则,三角形法则,注意数乘后的方向)空间直角坐标系(注意它与平面直角坐标系的区别)(点、坐标轴、坐标面、卦限)向量