第四章椭球数学变换(1-6节)

第四章地球椭球数学投影的基本理论1

4.1地球椭球基本参数及其互相关系4.2椭球面上常用坐标系及其关系4.3椭球面上的几种曲率半径

4.4椭球面上的弧长计算4.5大地线

4.6将地面观测值归算至椭球面

4.7大地测量主题解算概述

4.8地图数学投影变换的基本概念

4.9高斯平面直角坐标系

4.10横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.11兰勃脱投影概述本章的主要内容24.1地球椭球基本参数及其互相关系

地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素):长半轴ａ短半轴ｂ椭圆的扁率椭圆的第一偏心率椭圆的第二偏心率通常用a,

3为简化书写，还常引入以下符号椭球基本参数及其互相关系44.2椭球面上常用坐标系及其关系4.2.1各种坐标系的建立1、大地坐标系大地经度B大地纬度L大地高H

52、空间直角坐标系

坐标原点位于总地球椭球(或参考椭球)质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点；X轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G；Y轴与此平面垂直，且指向东为正。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。

常用坐标系及其关关系63、子午面直角坐标系

设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L,x,y表示。常用坐标系及其关系74、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系

设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系;以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长Ｐ２Ｐ与辅助圆相交Ｐ１点，则OP１与x轴夹角称为P点的归化纬度u。

常用坐标系及其关系8常用坐标系及其关系5、大地极坐标系

M是椭球面上一点，MN是过M的子午线，S为连接MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。以M为极点；

MN为极轴；

P点极坐标为（S,A)9常用坐标系及其关系4.2.2

坐标系之间的相互关系子午平面坐标系同大地坐标系的关系

10常用坐标系及其关系

令:

pn=N11常用坐标系及其关系空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系12常用坐标系及其关系

空间直角坐标系同大地坐标系在椭球面上的点：不在椭球面上的点：13常用坐标系及其关系由空间直角坐标计算相应大地坐标14B、u、φ之间的关系

B和u之间的关系

常用坐标系及其关系15常用坐标系及其关系U、φ之间的关系Ｂ、φ之间的关系大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45°时164.3椭球面上的几种曲率半径

过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。子午圈曲率半径17椭球面上几种曲率半径18椭球面上几种曲率半径19卯酉圈曲率半径(N)

卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。麦尼尔定理:

假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。椭球面上几种曲率半径20椭球面上几种曲率半径21卯酉圈曲率半径的特点:

卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。

椭球面上几种曲率半径22主曲率半径的计算

以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。

椭球面上几种曲率半径23椭球面上几种曲率半径24椭球面上几种曲率半径2526任意法截弧的曲率半径

椭球面上几种曲率半径27

任意法截弧的曲率半径的变化规律:

ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ；当ＲＡ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。

椭球面上几种曲率半径28平均曲率半径

椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何平均值。

椭球面上几种曲率半径29M，N，R的关系

椭球面上几种曲率半径30对于克拉索夫斯基椭球椭球面上几种曲率半径314.4椭球面上的弧长计算子午线弧长计算公式

32椭球面上的弧长计算33椭球面上几种曲率半径34如果以B＝90°代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10002137m。旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40008549.995m。即一象限子午线弧长约为10000km，地球周长约为40000km。为求子午线上两个纬度B１及Ｂ２间的弧长，只需按(11.42)式分别算出相应的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，该ΔＸ即为所求的弧长。当弧长甚短(例如X≤40km，计算精度到0.001m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径Mｍ

椭球面上的弧长计算35由子午弧长求大地纬度

迭代解法:

平行圈弧长公式

椭球面上的弧长计算36椭球面上的弧长计算子午线弧长和平行圈弧长变化的比较374.5大地线

两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢?它应是大地线。相对法截线

38相对法截线

大地线39相对法截线的特点:当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A，B，C三个点处所测得的角度(各点上正法截线之夹角)将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。

大地线40大地线大地线的定义和性质椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。41

大地线的性质:大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角

在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。长度差异可忽略,方向差异需改化。

大地线42补充内容：球面直角三角形的球面三角公式

任一元素的余弦等于不相邻两元素的正弦之积43任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积44大地线的微分方程和克莱劳方程

大地线的微分方程45大地线的微分方程46大地线的微分方程大地线的克莱劳方程

在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数47当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时由克莱劳方程可以写出

484.6将地面观测值归算至椭球面

观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。

归算的两条基本要求：

①以椭球面的法线为基准；②将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。将地面观测的水平方向归算至椭球面

将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正。

49垂线偏差改正

以测站A为中心作出单位半径的辅助球,u是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以ξ,η表示，M是地面观测目标m在球面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)

地面观测值归算至椭球面50标高差改正

地面观测值归算至椭球面51截面差改正

地面观测值归算至椭球面52