【全套解析】高三数学一轮复习 62 一元二次不等式及其解法课件 （理） 新人教A

第二节 一元二次不等式及其解法1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1．一元二次不等式的解法在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将符号“＝”改为不等号“>”或“<”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：2.用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程：4．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中有________个元素．解析：由(x－1)2<3x＋7得－1<x<6，∴集合A＝{x|－1<x<6}，∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5共6个元素．答案：65．a<0时，不等等式x2－2ax－3a2<0的解集是是________．解析：∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.又a<0，∴不等式式的解集集为{x|3a<x<－a}．答案：{x|3a<x<－a}热点之一一一元二次次不等式式及其解解法1．通过函数数图象了了解一元元二次不不等式与与相应的的二次函函数、一一元二次次方程的的联系．．2．解一元二二次不等等式时，，当二次次项系数数为负时时要先化化为正，，再求出出对应的的一元二二次方程程的根，，然后结结合相应应的二次次函数的的图象写写出不等等式的解解集，对对于分式式不等式式要等价价转化为为整式不不等式再再求解．．热点之二二解含参数数的一元元二次不不等式解含字母母参数的的不等式式要分类类讨论求求解，当当二次项项系数中中含有字字母时要要分二次次项系数数大于0、等于0、小于0进行讨论论，二次次项系数数的正、、负对不不等号的的方向和和不等式式的解集集均有影影响.其次，对对相应的的方程根根的大小小进行讨讨论.最后结合合相应的的二次函函数的图图象求得得不等式式的解集集.[例2]解关于x的不等式式ax2－(2a＋1)x＋2<0.[思路探究究]这个不等等式的左左端可以以分解为为两个因因式的乘乘积，即即(ax－1)(x－2)，这样就就可以根根据字母母a和0的三种关系进进行分类解决决．热点之三一元二次不等等式与一元二二次方程的根根的关系不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解就是使二二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于于0或小于0的x的取值范围，，因此一元二二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根就是x的取值范围的的端点值，要要结合二次函函数的图象去去理解二次不不等式的解集集.[例3]已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(m∈R)．(1)当m为何值时，抛抛物线与x轴有两个不同同的交点？(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实实根的倒数平平方和不大于于2，求实数m的取值范围．．[课堂即(m－2)2＋4(m－1)>0，所以m2>0，所以m≠1且m≠0.[思维拓拓展]抛物线线实质质是一一元二二次函函数的的图象象，所所以由由一元元二次次函数数图象象的性性质特特点来来分析析即可可．关关于方方程的的根的的情况况由韦韦达定定理转即时训训练(2010·山东淄淄博模模拟)若关于于x的不等等式ax2－6x＋a2<0的解集集为(－∞，，m)∪(1，＋∞∞)，则m等于________．解析：：由已知知可得得a<0且1和m是方程程ax2－6x＋a2＝0的两两根根，，于于是是a－6＋a2＝0，解解得得a＝－－3，代代入入ax2－6x＋a2＝0得－3x2－6x＋9＝0，所以方方程的另另一根为为－3，即m＝－3.答案：热点之四四一元二次次不等式式的恒成成立问题题1．解决恒成成立问题题一定要要搞清谁谁是自变变量，谁谁是参数数．一般般地，知知道谁的的范围，，谁就是是变量，，求谁的的范围，，谁就是是参数．．2．对于二次次不等式式恒成立立问题，，恒大于于0就是相应应的二次次函数的的图象在在给定的的区间上上全部在在x轴上方，，恒小于[例4]已知不等等式mx2－2x＋m－2<0.(1)若对于所所有的实实数x不等式恒恒成立，，求m的取值范范围；(2)设不等式式对于满满足|m|≤2的一切m的值都成成立，求求x的取值范范围．[思路探究究](1)讨论m是否为零零，可结结合二次次函数的的图象求求解；(2)看作关于于m的一次函函数，利利用其单单调性求求解．(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一一个以m为自变量量的一次次函数，，由x2＋1>0知g(m)在[－2,2]上为增函函数，则则由题意意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1.即x的取值范范围是(0,1)．即时训练练设f(x)＝x2－2mx＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥m恒成立，，求实数数m的取值范范围．解析：设F(x)＝x2－2mx＋2－m，则当x∈[－1，＋∞)时，F(x)≥0恒成立当Δ＝4(m－1)(m＋2)<0，即－2<m<1时，F(x)>0显然成立立；当Δ≥0时，右图图，F(x)≥0恒成立的的充要条条件为：：从近几年年的高考考试题看看，高考考中常常常以小题题的形式式考查简简