【全套解析】高三数学一轮复习 42 平面向量的基本定理及坐标表示课件 （理） 新人教A

第二节 平面向量的基本定理及坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组

不共线有且只有基底．2．夹角(1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的

(2)向量夹角θ的范围是

，a与b同向时，夹角θ＝

；a与b反向时，夹角θ＝

.(3)如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.夹角．[0，π]0π3．把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量正交分解．4．在平面直角坐标系中，分别取出x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序数对

叫做向量a的

，记作a＝

，其中x叫a在

上的坐标，y叫a在

上的坐标．互相垂直(x，y)坐标(x，y)x轴y轴5．平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量

的坐标减去

的坐标．6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是

.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)．终点始点x1y2－x2y1＝01．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(

)A．3a＋b

B．3a－bC．－a＋3b D．a＋3b热点之一平面向量基本本定理及其应应用1．以平面内任任意两个不共共线的向量为为一组基底，，该平面内的的任意一个向向量都可表示示成这组基底底的线性组合合，基底不同同，表示也不不同．2．对于两个向量量a，b，将它们用同同一组基底表表示，我们可可通过分析这这两个表示式式的关系，来来反映a与b的关关系系．．3．利利用用已已知知向向量量表表示示未未知知向向量量，，实实质质就就是是利利用用平平行行四四边边形形法法则则或或三三角角形形法法则则进进行行向向量量的的加加减减运运算算或或进进行行数数乘乘运运算算．．提醒醒：：一组组基基底底中中，，必必不不含含有有零零向向量量．．热点点之之二二平面面向向量量的的坐坐标标运运算算1．向量量的的坐坐标标运运算算主主要要是是利利用用加加、、减减、、数数乘乘运运算算法法则则进进行行，，若若已已知知有有向向线线段段两两端端点点的的坐坐标标，，则则应应先先求求出出向向量量的的坐坐标标，，解解题题过过程程中中要要注注意意方方程程思思想想的的运运用用．．2．利用用向向量量的的坐坐标标运运算算解解题题．．主主要要是是根根据据相相等等的的向向量量坐坐标标相相同同这这一一原原则则，，通通过过列列方方程程(组)进行求解解．热点之三三平面向量量共线的的坐标表表示1．凡遇到到与平行行有关的的问题时时，一般般要考虑虑运用向向量平行行的充要要条件．．2．两个向向量共线线的充要要条件在在解题中中具有重重要的应应用，一一般地，，如果已已知两向向量共线线，求某某些参数数的值，，则利用用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条条件是x1y2－x2y1＝0”比较简捷捷．3．在求与与一个已已知向量量a共线的向向量时，，采取待待定系数数法更为为简单，，即设所所求向量量为λa(λ∈R)，然后结结合其他他条件列列出关于于λ的方程程，求求出λ的值后后代入入λa即可得得到欲欲求向向量，，这样样可以以使未未知数数的个个数少少一些些，便便于求求解．．[思维拓拓展](1)本题主主要涉涉及平平面向向量的的模、、夹角角、共共线的的充要要条件件等基基础知知识，，以及及运算算能力力、分分析能能力和和数形形结合合能力力．注注意“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b的充要要条件件是x1y2－x2y1＝0.”的使用用；(2)解法一一用的的是待待定系系数法法，体体现了了方程程的思思想，，关键键是将将题目目中的的等量量关系系转化化成含含有未未知数数的两两个方方程；；(3)在解题题时，，要灵灵活地地运用用不同同的方方法，，如利利用数数形结结合，，则可可以直直观地地得到到结果果．热点之之四平面向向量坐坐标运运算的的综合合应用用1．对于向向量坐坐标的的综合合应用用，关关键是是利用用已知知条件件转化化为方方程或或函数数关系系式解解决．．2．以向量量为载载体，，解决决三角角、解解析几几何问问题是是高考考常考考题，，要引引起足足够重重视．．3．向量量与三三角结结合题题目关关键是是利用用向量量共线线的坐坐标关关系，，结合合三角角函数数中的的有关关公式式进行行求解解．[例4]已知向向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．．[思路探探究](1)利用共共线得得方程程，再再结合合同角角关系系式得得解；；(2)由|a|＝|b|得正弦弦、余余弦关关系式式，利利用三三角恒恒等变变换得得解．．向量的的坐标标运算算及用用坐标标表示示平面面向量量、共共线的的条件件是高高考考考查的的热点点，常常以选选择、、填空空题的的形式式出现现，为为中、、低档档题．．向量量的坐坐标运运算常常与三三角、、解析析几何何等知知识结结合，，在知知识交交汇点点处命命题，，以解解答题题的形形式呈呈现，，属中中档题题．[例5](2010·山东高考)定义平面向向量之间的的一种运算算“⊙”如下：对任任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2[解析]A项，a与b共线，则∃λ∈R使得a＝λb则有m＝λp，n＝λq，a⊙b＝λpq－λpq＝0；B项，b⊙a＝np－mq＝－(a⊙b)；C项，(λa)⊙b＝(λm，λn)⊙(p，q)＝λmq－λnp＝λ(mq