初中数学竞赛讲义：第20讲-直线与圆

第二十

直线与直线与圆的位置有相交、相切离三种情形既可从直线与圆交点的个数来判定也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察．讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理、弦切角的概念和性质线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注：点圆的位置关系和直线圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法距离与半径的比)，我们称“由数定形股定理的逆理也具有这一特点．【题解【例1如图是圆的径CB切于，切⊙O于D，交BA延长线于E若，，的为．思点从点，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥，有相似三角形，先求出O的径．注连圆心与切点是一条常用的辅助线用切线的性质可构造出直角三角形圆的证明与计算中有广泛的应用．【例】如，ABAC⊙O相于BC，A=50°，点圆上异于B的一个动点，则BPC的数是()A65°B．115°C°和°D．130和°西省中考)思点略【例】如等△ABC的一腰为径的⊙O交BC于DD作DE⊥AC于E，可得结论：DE是的切线．问(1)若点在AB上向点B移，以为心OB为径的圆的交BC于DE⊥的条件不变，那么上述结论是否还成请明理由；33(2)如果AB=AC=5cm，，么圆心在AB的什么位置时，O与AC相?5(2001年黑龙江省中考)思点(1)结论探索题(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求解．【例】如已eq\o\ac(△,Rt)中，°是AB边的动点(与点A、B不合)，Q是BC边的动(点、不合)．当∥，且为的点时，求线段PC的；当PQ与AC不平行时eq\o\ac(△,，)CPQ能为直角三角形?若可能，求出线段CQ的的取值范围；若不可能，请说明理由．

(广州市中考题思点对于(，易发现只有点能为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ为直径的圆与线段的点就是符合要求的点P，直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ的取值范围．注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有：从直线与圆交点个数入手；利用角证明，即证明半径和直线垂直；运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；︵【例】如图，在正方形ABCD中AB=1，是以点B为心为半径的圆的一段︵弧，点是上任意一点（点与A、D不合E作A所在圆的切线，交边DC于点F，G为点．当°，求证点为段中点；设AE=x，，关x函数解析式，并写出函数的定义域；（3将DEF沿线EF翻后eq\o\ac(△,D)eq\o\ac(△,)EF，如图，当F=1

时，讨ADD与eq\o\ac(△,)F是1否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．思点图有多条B的线，由切线长定理可得多对等长线段，这是(1)、(2)的基础，对于(，由2)出x的，确定E点置，这是解题的关键．注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质等三角形判定与性质等丰富的知识结合了待定系数法数互助等思想方法，具有较强的选拔功能．学训图AB为的径在AB延长线上PM切于M点OA=

，，那么△PMB的长为．．、PB切⊙O于AB∠°点是⊙O上异于AB的意一点，则∠ACB=．．如图EC是O的条切线是切点ADO两点，如果F=46，∠DCF=32，则A的数是．．如图，以ABC的为径O交BC于，点作O切线交ACE，要使DE⊥，则ABC的边必须满足的条件是．．ll2

表示直线给下列四个论断①l∥l②l1

切⊙O于Al

切⊙O于B；④AB是O直径．若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数()．2．D4．如图，圆心O在长为的方形ABCD的角线BD上⊙O过B点与AD、DC⌒⌒⌒⌒边均相切，则⊙O的径是)A2(

B2(2

．

．．直角梯形ABCD中AD∥，°AD+BC<DC若腰DC上一点P，使⊥，则这样的()A不存在B只有一个C．只有两个D．无数个．如图，圆内接ABC的外角ACH的分与圆交于D点⊥于P，⊥BH于，列结论：①；②AD=DB；③＝BHDH为的切线，其中一定成立的是)A①②④B．①③④C．③④D．①②③．如图，⊙O是ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120，O的径为1，求弦AC的长；若为CB的长线上一点，试确定P点位置，使与⊙O相，并证明你的结论．10如图是O的直径，点在BA延长线上，弦于，PC．求证：PC是O切线；若OE：EA=1，且＝6，求⊙O的径；求∠PCA的．(1)如图已知直线AB过心交O于AB线AF交于F(与B合)，直线l

交⊙O于交于E且AF垂直足GACAD证∠∠CAG；AC·AD=AEAF在问题(1)，当直线l

向上平行移动与O相时，其他条件不变．请你在图b中出变化后的图形并对照图a标字母；问题中的两个结论是否成?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由．12如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠°，⊙O分别与、AC相于、，心在PCC．D．PCC．D．BC上若，，则⊙O的径等于．13如图是圆O的径，点M半径OA的点，点P在段AM上运动(不与点M重合，点在半圆O上动，且总保持PQ=PO过点Q作⊙的线交BA的长于点．当∠QPA=60°时，请你对QCP的状出猜想，并给予证明．当⊥AB时QCP的状是三形．由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在段AM上动到任何位置时QCP一定是三形．14如图，已知AB为⊙O的径切⊙O，CD切⊙O于D，交BA的长线于E，若，ED=2则的为)A2B．3．3D415如图PB是的条切线A切，直线交O于CD交E，⌒⌒AF为⊙O的径，下列结论：∠∠AOP(2)BC=DF；(3)PCPD=PE·，中正确结论的个数)A3个B．2个C个D．16如图，已知△ABC，点A作接圆的切线交的长线于点P，

，D2在AC上且

1CD2

，延长交AB于E，则

的值为()A

14

B

21242217图知为半圆O的径AP为点A的圆的切线．AB上取一点点CA不合作圆的切线CD交AP于D点C作⊥AB为结BD交CE于．⌒当点C为AB的点如图，求证CF；⌒当点C不的点时(如图判断CF与相等关系是否保持不变证明你的结论．18如图，ABC中∠C=90°，BC=3，点D在AC边，以D为心的⊙与于点E．求证：ABC设⊙与BC于点F当CF=2时，求CD长；设a试给一个a值D与BC没公共点并说明你给出a的符合的要求19如图PA、与切A、点是意一条割线，且交⊙O点、，点D．证：

20如图，O与x轴交于A、两，与交于、两点，圆心ˊ的坐标是(，一1)，半径是5，求A、、、四点的坐标；求经过点D的线的解析式；问过点A的线与过点D的线是否垂?若直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由．21当进入博物馆的展览