初中数学竞赛讲义：第24讲-几何的定值与最值

222222第二十讲

几何的值与最值几何中的定值问题是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变几元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题几何定值问题的基本方法是清题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下面几何图形中某个确定的(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，几何最值问题的基本方法有：．特殊位置与极端位置法；．几何定理(理法；．数形结合法等．注几中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中冷点变为热点这是由于这类问题具有很强的探索(目标不明确)解时需要运用动态思维形结合殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【题解【例】如，已知AB=10，是段上任意一点，在的侧分别以和为边作等边△APC和边△，CD长的最小为．思点如图CC⊥于C′⊥AB于DDQ⊥CCCD

=DQ

+CQ

一常数，当小CD越，本例也可设最小值．

，则10x

，从代数角度探求CD注从殊位置与极端位置的研究中易得到启示能找到解题突破口特殊位置与极端位置是指：中点处、垂直位置关系等；端点处、临界位置等．【例】如图圆的半径等正三角形ABC的，此圆在沿底边滚，切点为T，圆⌒交AC于M、，则对于所有可能的圆的位置而言，为度数（）A从°到60变动B．从60到90变动C．持°不变．保持60不变思点先考虑当圆心在正三角形的顶点C时其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题2⌒2⌒中的变量考当变化的元素运到特定的位置图形变化为特殊图形时研究的量取得定值与最值．【例】如，已知平行四边形ABCDAB=a，(>b)，为AB边的一动点，直线交CB的长于，AP+BQ最小值．思点设x

，把、BQ分用x

的代数式表示，运用不等式a2

(当且仅当

时取等号)求最小值．【例】如图已知等边△ABC接于圆，在劣弧AB上异于AB的M，设直线AC与交于K直线CB与AM交于点，证明：线段AK和BN的积与M点选择无关．思点即要证AK是个定值图形中ABC的长是一个定值明AK与AB有从知△ABM与△的共边作一个大胆猜想BN=AB，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例】已△是角边长为1等腰直角三角(∠°它的三个顶点分别在等腰eq\o\ac(△,Rt)ABC(°)的三边上，eq\o\ac(△,求)ABC直边长的最大可能值．思点点在边上或直角边CA(或CB)上点Z在边AB上时xy的点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，，建立x

，的系，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；构造二次函数求几何最值．学训．如图，正方形ABCD的长为1，点为BC上意一点（可与点C点合分别过B、、D作射线的线，垂足分别是B、C′、D，则′+CC′的最大值为，小值为．．如图，∠AOB=45，内有一点P，，角的两边上有两点，R(均不同于点O)，则△PQR的长的最小值为．如两A直线MN的同侧AMN的离B到的距离，，P在线上动则PA的大值等于．．如图A是半圆上一个三等分点，点弧AN中点点直径MN上动点，⊙O的径为1则AP+BP的小值()AB

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C．2

D．如图，圆柱的轴截面是长为4的正方形，动点从A点发，沿看圆柱的侧面移动到BC的点S的短距离()A2

2

B2

2

C．4

2

D．2

2．如图、已知矩形AP户别是上点EF分是APRP的点，当在BC上C移而R不时，那下列结论成立的()A线段EF的逐渐增大．段长逐渐减小C．段EF的不改变．线段EF的长不能确定．如图，点C是段AB的任意一(C点与A、B点合，分别以AC、BC为在直线AB的侧作等三角形ACD和边三角形，AE与CD相于点MBD与CE相交于点N．求证：∥AB；若的长为，当点在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段的长度最长若存在，请确定C点位置并求出的；若不存在，请说明由．(2002年南省中考)．如图，定长的弦ST一个以AB为径的半圆上滑动M是ST的点是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠是一定角．．已知ABC⊙O的接三角，为O的线，B为点为直线上点，过点作的行线交直线BT于，交直线AC于．当点P在段时(如图，求证·PB=PE·PF；当点P为段长线上一点时，题的结论还成立吗如成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10如图，已知；边长为4的方形截去一角成为五边形，其中AF=2，，在上的一点，矩形PNDM有大面积则矩形PNDM的积最大值是()A8B．12C

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D．14图是圆的直径段CA上AB于A段DB上AB于AB=2，，是圆上的一个点，则封闭图形的大面积是)A22

B12

C．3

D．212如图，在ABC中BC=5，，，边、AC上分别取点D、，线段DE将ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长．．如图ABCD是一个边长为的正方形、分是AB、上点AV与相交于点，BV与交于点．四边形PUQV面的最大值．．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛坛全部都能喷到水已每个喷水器的喷水区域是半径为l0米圆问何设计(求出两喷水器之间的距离和矩的长才能使矩形花坛的面积最?．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场平面图如图所示．其中，正方形四个相同矩形图中阴影部)的面积的为800平米．设矩形的边AB=

()，(米)用含

的代数式表示为．现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2元在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪平每方米造价为105元在个三角形区域上铺设草坪均每平方米造价为40元设该工程的总造价为元，求关工的函数关系式．若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建任